2. 考研
  3. 设f(x)在点x=a处四阶可导，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f(4)(a)≠0．求证：当f(4)(a)＞0时f(a)是f(x)的极小值；当f(4)(a)＜0时f(a)是f(x)的极大值．

设f(x)在点x=a处四阶可导，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f(4)(a)≠0．求证：当f(4)(a)＞0时f(a)是f(x)的极小值；当f(4)(a)＜0时f(a)是f(x)的极大值．

admin2018-06-14  11
问题 设f(x)在点x=a处四阶可导，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f(4)(a)≠0．求证：当f(4)(a)＞0时f(a)是f(x)的极小值；当f(4)(a)＜0时f(a)是f(x)的极大值．
选项
答案由题设可得f(x)在x=a处带皮亚诺余项的4阶泰勒公式为 f(x)=f(a)+f’(x一a)+[*]f"’(a)(x一a)3 +[*]f(4))(a)(x一a)+ο((x一a)4) =f(a)+[*]f(4)(a)(x一a)4+ο((x一a)4)， 从而 [*] 由极限的保号性质可得，存在δ＞0使得当0＜｜x一a｜＜δ时[*]f(4)(a)同号，即f(x)一f(a)与f(4)(a)同号． 故当f(4)(a)＞0时就有f(x)一f(a)＞0在0＜｜x一a｜＜δ中成立，即f(a)是f(x)的一个极小值；当f(4)(a)＜0时就有f(x)一f(a)＜0在0＜｜x一a｜＜δ中成立，即f(a)是f(x)的一个极大值．
解析
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考研数学三

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