设f(x)在点x=a处四阶可导，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f(4)(a)≠0．求证：当f(4)(a)＞0时f(a)是f(x)的极小值；当f(4)(a)＜0时f(a)是f(x)的极大值．

admin2018-06-14 10

问题设f(x)在点x=a处四阶可导，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f⁽⁴⁾(a)≠0．求证：当f⁽⁴⁾(a)＞0时f(a)是f(x)的极小值；当f⁽⁴⁾(a)＜0时f(a)是f(x)的极大值．

选项

答案由题设可得f(x)在x=a处带皮亚诺余项的4阶泰勒公式为 f(x)=f(a)+f’(x一a)+[*]f"’(a)(x一a)³ +[*]f⁽⁴⁾)(a)(x一a)+ο((x一a)⁴) =f(a)+[*]f⁽⁴⁾(a)(x一a)⁴+ο((x一a)⁴)，从而 [*] 由极限的保号性质可得，存在δ＞0使得当0＜｜x一a｜＜δ时[*]f⁽⁴⁾(a)同号，即f(x)一f(a)与f⁽⁴⁾(a)同号．故当f⁽⁴⁾(a)＞0时就有f(x)一f(a)＞0在0＜｜x一a｜＜δ中成立，即f(a)是f(x)的一个极小值；当f⁽⁴⁾(a)＜0时就有f(x)一f(a)＜0在0＜｜x一a｜＜δ中成立，即f(a)是f(x)的一个极大值．

解析

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考研数学三

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设f(x)在点x=a处四阶可导，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f(4)(a)≠0．求证：当f(4)(a)＞0时f(a)是f(x)的极小值；当f(4)(a)＜0时f(a)是f(x)的极大值．

考研数学三

设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．

设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．

当0＜x＜时，证明：＜sinx＜x．

由方程sinxy+ln(y一x)=x确定函数y=y(x)，求

设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有|f(x)一f(y)|≤M|x一y|k．证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续；

令[]=t，则x=1n(1+t2)，dx=[]则[]=2∫ln(1+t2)dt=2tln(1+t2)一[]=2tln(1+t2)一[]=2tln(1+t2)一4t+4arctant+C[]

设f(x)在[a，b]上满足|f"(x)|≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：|f’(a)I+|f’(b)|≤2(b一a)．

已知矩阵A与B相似，其中A=．求a，b的值及矩阵P，使P-1AP=B．

已知事件A发生必导致B发生，且0＜P(B)＜1，则=

设f（x）在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f（0）=0。则φ（x）在x=0处（）

金属在固态下，随温度变化由一种晶格转变为另一种晶格的现象，称为()。

Itisawisefatherthatknowshisownchild,buttodayamancanboosthispaternal(fatherly)wisdom—oratleastconfirmtha

老年抑郁症的常见负性生活事件是

患者，男，33岁。腹股沟斜疝术后取仰卧位，腘窝下垫枕，最主要目的是

按规定．各会计核算单位使用定点开发的专用会计核算软件之前，使用的软件必须经过()。

个人从公开发行和转让市场取得的上市公司股票，持股期限在1个月以内的，其股息红利所得按()计人应纳税所得额。

2006年北京某基层社区设立社区卫生服务中心社区居民对卫生服务中心为谁服务存在不问想法。您认为其服务对象应是：()。

根据绩效考评的对象不同，绩效考评可分为()。

“外行看热闹，内行看门道”体现的是知觉的()。

包括在班杜拉总结的学习过程的环节是()。

设f(x)在点x=a处四阶可导，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f(4)(a)≠0．求证：当f(4)(a)＞0时f(a)是f(x)的极小值；当f(4)(a)＜0时f(a)是f(x)的极大值．

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设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．

当0＜x＜时，证明：＜sinx＜x．

由方程sinxy+ln(y一x)=x确定函数y=y(x)，求

设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有|f(x)一f(y)|≤M|x一y|k．证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续；

令[*]=t，则x=1n(1+t2)，dx=[*]则[*]=2∫ln(1+t2)dt=2tln(1+t2)一[*]=2tln(1+t2)一[*]=2tln(1+t2)一4t+4arctant+C[*]

设f(x)在[a，b]上满足|f"(x)|≤2，且f(x)在(a，b)内取到最小值．证明：|f’(a)I+|f’(b)|≤2(b一a)．

已知矩阵A与B相似，其中A=．求a，b的值及矩阵P，使P-1AP=B．

已知事件A发生必导致B发生，且0＜P(B)＜1，则=

设f（x）在x=0的某邻域内连续，在x=0处可导，且f（0）=0。则φ（x）在x=0处（）

金属在固态下，随温度变化由一种晶格转变为另一种晶格的现象，称为()。

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老年抑郁症的常见负性生活事件是

患者，男，33岁。腹股沟斜疝术后取仰卧位，腘窝下垫枕，最主要目的是

按规定．各会计核算单位使用定点开发的专用会计核算软件之前，使用的软件必须经过()。

个人从公开发行和转让市场取得的上市公司股票，持股期限在1个月以内的，其股息红利所得按()计人应纳税所得额。

2006年北京某基层社区设立社区卫生服务中心社区居民对卫生服务中心为谁服务存在不问想法。您认为其服务对象应是：()。

根据绩效考评的对象不同，绩效考评可分为()。

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包括在班杜拉总结的学习过程的环节是()。

令[]=t，则x=1n(1+t2)，dx=[]则[]=2∫ln(1+t2)dt=2tln(1+t2)一[]=2tln(1+t2)一[]=2tln(1+t2)一4t+4arctant+C[]