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考研
设A是3阶非零矩阵,满足A2=A,且A≠E,则必有 ( )
设A是3阶非零矩阵,满足A2=A,且A≠E,则必有 ( )
admin
2020-04-09
43
问题
设A是3阶非零矩阵,满足A
2
=A,且A≠E,则必有 ( )
选项
A、r(A)=1.
B、r(A—E)=2.
C、[r(A)一1][r(A—E)一2]=0.
D、[r(A)一1][r(A—E)一1]=0.
答案
D
解析
A是3阶非零矩阵,则A≠0,r(A)≥1.
A≠E,A—E≠0,r(A—E)≥1,
因A
2
=A,即A(A—E)=O,得r(A)+r(A一E)≤3,且
1≤r(A)≤2,1≤r(A—E)≤2.
故矩阵A和A—E的秩r(A)和r(A—E)或者都是1,或者一个是1,另一个是2.即两个中至少有一个的秩为1.故(A),(B),(C)均是错误的,应选D.
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考研数学三
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