2. 考研
  3. 设A是3阶非零矩阵，满足A2=A，且A≠E，则必有 ( )

设A是3阶非零矩阵，满足A2=A，且A≠E，则必有 ( )

admin2020-04-09  36
问题 设A是3阶非零矩阵，满足A2=A，且A≠E，则必有    (    )
选项 A、r(A)=1．
B、r(A—E)=2．
C、[r(A)一1][r(A—E)一2]=0．
D、[r(A)一1][r(A—E)一1]=0．
答案D
解析 A是3阶非零矩阵，则A≠0，r(A)≥1．
    A≠E，A—E≠0，r(A—E)≥1，
    因A2=A，即A(A—E)=O，得r(A)+r(A一E)≤3，且
    1≤r(A)≤2，1≤r(A—E)≤2．
  故矩阵A和A—E的秩r(A)和r(A—E)或者都是1，或者一个是1，另一个是2．即两个中至少有一个的秩为1．故(A)，(B)，(C)均是错误的，应选D．
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考研数学三

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