设f(x)在[0，+∞)上连续可微．并且∫0+∞f2(x)dx＜+∞，如果｜f’(x)｜≤C(当x＞0时)，其中C为一常数，试证：f(x)=0．

admin2022-11-23 36

问题设f(x)在[0，+∞)上连续可微．并且∫₀^+∞f²(x)dx＜+∞，如果｜f’(x)｜≤C(当x＞0时)，其中C为一常数，试证：

f(x)=0．

选项

答案由于f(x)在[0，+∞)上连续，｜f’(x)｜≤C，x＞0时，所以f(x)在[0，+∞)上一致连续，从而f²(0，+∞)在[0，+∞)上也一致连续．若[*]f(x)≠0，则存在ε₀＞0，对任给A＞0，存在x₁＞A，使得｜f(x₁)｜＞[*]由于f²(x)在[0，+∞)上一致收敛，对于ε₀＞0，存在δ＞0，当x’，x”∈[0，+∞)且｜x’-x”｜＜δ时，有｜f²(x’)-f²(x”)＜ε₀／2．因此当x∈[x₁，x₁+δ]时，有｜f²(x)｜≥｜f²(x₁)｜-｜f²(x₁)-f²(x)｜＞ε₀-[*]=ε₀／2．所以有[*]根据柯西准则，此即表明∫₀^+∞f²(x)dx发散，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，即应有[*]f(x)=0存在．

解析

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考研数学三

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设f(x)在[0，+∞)上连续可微．并且∫0+∞f2(x)dx＜+∞，如果｜f’(x)｜≤C(当x＞0时)，其中C为一常数，试证：f(x)=0．

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