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设f(x)在[0,+∞)上连续可微.并且∫0+∞f2(x)dx<+∞,如果|f’(x)|≤C(当x>0时),其中C为一常数,试证:f(x)=0.
设f(x)在[0,+∞)上连续可微.并且∫0+∞f2(x)dx<+∞,如果|f’(x)|≤C(当x>0时),其中C为一常数,试证:f(x)=0.
admin
2022-11-23
40
问题
设f(x)在[0,+∞)上连续可微.并且∫
0
+∞
f
2
(x)dx<+∞,如果|f’(x)|≤C(当x>0时),其中C为一常数,试证:
f(x)=0.
选项
答案
由于f(x)在[0,+∞)上连续,|f’(x)|≤C,x>0时,所以f(x)在[0,+∞)上一致连续,从而f
2
(0,+∞)在[0,+∞)上也一致连续. 若[*]f(x)≠0,则存在ε
0
>0,对任给A>0,存在x
1
>A,使得|f(x
1
)|>[*]由于f
2
(x)在[0,+∞)上一致收敛,对于ε
0
>0,存在δ>0,当x’,x”∈[0,+∞)且|x’-x”|<δ时,有|f
2
(x’)-f
2
(x”)<ε
0
/2.因此当x∈[x
1
,x
1
+δ]时,有 |f
2
(x)|≥|f
2
(x
1
)|-|f
2
(x
1
)-f
2
(x)|>ε
0
-[*]=ε
0
/2. 所以有[*]根据柯西准则,此即表明∫
0
+∞
f
2
(x)dx发散,这与已知条件矛盾,所以假设不成立,即应有[*]f(x)=0存在.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WDgD777K
0
考研数学三
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