2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。

设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT； (Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。

admin2017-01-14  52
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记

(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT；
(Ⅱ)若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为。
选项
答案(Ⅰ)f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2 [*] 所以二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT。 (Ⅱ)设A=2ααT+ββT，由于｜α｜=1，αTβ=βTα=0，则 Aα=(2ααT+ββT)α=2α｜α｜2+ββTα=2α， 所以α为矩阵对应特征值λ1=2的特征向量； Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β｜β｜2=β， 所以β为矩阵对应特征值λ2=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r(A)=r(2ααTT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2， 所以λ3=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为[*]。
解析
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考研数学一

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