首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为。
设二次型f(x1,x2,x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2,记 (Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT; (Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为。
admin
2017-01-14
67
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
,记
(Ⅰ)证明二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
;
(Ⅱ)若α,β正交且均为单位向量,证明f在正交变换下的标准形为
。
选项
答案
(Ⅰ)f(x
1
,x
2
,x
3
)=2(a
1
x
1
+a
2
x
2
+a
3
x
3
)
2
+(b
1
x
1
+b
2
x
2
+b
3
x
3
)
2
[*] 所以二次型f对应的矩阵为2αα
T
+ββ
T
。 (Ⅱ)设A=2αα
T
+ββ
T
,由于|α|=1,α
T
β=β
T
α=0,则 Aα=(2αα
T
+ββ
T
)α=2α|α|
2
+ββ
T
α=2α, 所以α为矩阵对应特征值λ
1
=2的特征向量; Aβ=(2αα
T
+ββ
T
)β=2αα
T
β+β|β|
2
=β, 所以β为矩阵对应特征值λ
2
=1的特征向量。 而矩阵A的秩 r(A)=r(2αα
TT
+ββ
T
)≤r(2αα
T
)+r(ββ
T
)=2, 所以λ
3
=0也是矩阵的一个特征值。故f在正交变换下的标准形为[*]。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WDu4777K
0
考研数学一
相关试题推荐
设非负连续型随机变量X服从指数分布,证明对任意实数r和S,有P{X>r+s|X>s}=P{X>r}.
设函数y=y(x)在(-∞,+∞)内具有二阶导数,且y’≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.试将x=x(y)所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程;
设A=E-ξξT,其中层为n阶单位矩阵,ξ是n维非零列向量,ξT是ξ的转置.证明:A2=A的充要条件是ξTξ=1;
当a取下列哪个值时,函数,(x)=2x3-9x2+12x-a恰有两个不同的零点.
设幂级数anxn在(-∞,+∞)内收敛,其和函数y(x)满足y"-2xy’-4y=0,y(0)=0,y’(0)=1.求y(x)的表达式.
设α1,α2,…,αr,β都是n维向量,β可由α1,α2,…,αr线性表示,但β不能由α1,α2,…,αr-1线性表示,证明:αr可由α1,α2,…,αr-1,β线性表示.
设函数f(x)连续且恒大于零,其中Ω(t)={(x,y,z)丨x2+y2+z2≤t2},D(t)={(z,y)丨x2+y2≤t2}.讨论F(t)在区间(0,+∞)内的单调性;
若矩阵A3×3的特征值为1,2,3,则下列矩阵中必定可逆的是().
设幂级数的收敛半径分别为,则幂级数的收敛半径为().
随机试题
临床常用的腧穴定位方法是
斜面裂形成的原因是
下列各项,不属导致崩漏常见病因的是
关于当事人适格的表述,下列哪一选项是错误的?(2008—卷三—44,单)
在通过合作项目批量获取个人贷款客户的情况下,商业银行应重点审查()。
纳税人自产货物用于下列用途时,不需缴纳增值税的有()。
F
Astudentwhoentersauniversityinthesecondhalfof20thcenturyisinanewsituation.Heisnotliketheyoungmanofthe
Thepairofwords"lend"and"borrow"are
Theconceptofstudentexchangebetweencountriesisnotanewone.Itisacommon【B1】______inmanyEuropeancountriesandtheU
最新回复
(
0
)