假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证: 在开区间(a,b)内g(x)≠0;

admin2015-09-10  32

问题 假设函数f(x)和g(x)在[a,b]上存在二阶导数,并且g"(x)≠0,f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0,试证:
在开区间(a,b)内g(x)≠0;

选项

答案反证法.若[*]c∈(a,b),使g(c)=0,则由罗尔定理知[*]ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使g’(ξ1)=g’(ξ2)=0,从而[*]ξ∈(ξ1,ξ2).使g"(ξ)=0,这与题设g"(x)≠0矛盾.

解析
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