假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：在开区间(a，b)内g(x)≠0；

admin2015-09-10 96

问题假设函数f(x)和g(x)在[a，b]上存在二阶导数，并且g"(x)≠0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：
在开区间(a，b)内g(x)≠0；

选项

答案反证法．若[*]c∈(a，b)，使g(c)=0，则由罗尔定理知[*]ξ₁∈(a，c)，ξ₂∈(c，b)，使g’(ξ₁)=g’(ξ₂)=0，从而[*]ξ∈(ξ₁，ξ₂)．使g"(ξ)=0，这与题设g"(x)≠0矛盾．

解析

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考研数学一

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