设F(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫0χf(t)dt＝1在(0，1)内有且仅有一个实根．

admin2021-11-09 63

问题设F(χ)在[0，1]上连续，且f(χ)＜1，证明：2χ－∫₀^χf(t)dt＝1在(0，1)内有且仅有一个实根．

选项

答案令φ(χ)＝2χ－∫₀^χf(t)dt－1， φ(0)＝－1，φ(1)＝1－∫₀¹f(t)dt 由f(χ)＜1得∫₀¹f(t)dt＜1，从而φ(1)＝1－∫₀¹f(t)dt＞0，由零点定理，存在c∈(0，1)，使得φ(c)＝0，即方程2χ－∫₀^χf(t)dt＝1至少有一个实根．因为φ′(χ)＝2－f(χ)＞0，所以φ(χ)在[0，1]上严格递增，故2χ－∫₀^χf(t)dt＝1在(0，1)内有且仅有一个实根．

解析

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