设3阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．若β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

admin2018-07-26 60

问题设3阶矩阵A=(α₁，α₂，α₃)有3个不同的特征值，且α₃=α₁+2α₂．
若β=α₁+α₂+α₃，求方程组Ax=β的通解．

选项

答案由0=α₁+2α₂－α₃ [*] 知ξ=[*]是方程组Ax=0的一个解．又由r(A)=2知方程组Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3－2=1，所以ξ=[*]是方程组Ax=0的一个基础解系．因为β=α₁+α₂+α₃ [*] 是方程组Ax=β的一个特解，故方程组Ax=β的通解为 [*] 其中k为任意常数．

解析

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考研数学三

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证明：
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已知β可用α1，α2，…，αm线性表示，但不能用α1，α2，…，αm-1表出，试判断：(Ⅰ)αm能否用α1，α2，…，αm-1，β线性表示；(Ⅱ)αm能否用α1，α2，…，αm-1线性表示，并说明理由．
已知α1=(1，-1，1)T，α2=(1，t，-1)T，α3=(t，1，2)T，β=(4，t2，-4)T，若β可以由α1，α2，α3线性表出且表示法不唯一，求t及β的表达式．
判断α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，-1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+9)T的线性相关性．
与α1=(1，-1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是________．
设n阶矩阵A=，证明行列式｜A｜=(n+1)an．
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