设二次型 f(x1，x2，x3)=xTAx=ax12+2x22－2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的

admin2019-12-26 45

问题设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=ax₁²+2x₂²－2x₃²+2bx₁x₃(b＞0)，
其中二次型的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
利用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.

选项

答案由矩阵A的特征多项式 [*] 得A的特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=－3．对于λ₁=λ₂=2，解齐次线性方程组(2E-A)x=0，得其基础解系 ξ₁=(2，0，1)^T，ξ₂=(0，1，0)^T．对于λ₃=－3，解齐次线性方程组(－3E－A)x=0，得基础解系 ξ₃=(1，0，－2)^T．由于ξ₁，ξ₂，ξ₃已是正交向量组，为得到规范正交向量组，只需将ξ₁，ξ₂，ξ₃单位化，由此得 [*] 令矩阵 [*] 则Q为正交矩阵，在正交变换x=Qy下，有 [*] 且二次型的标准形为 f=2y₁²+2y₂²－3y₃²．

解析

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考研数学三

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xy一yx，则y’=________．

若随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布于N(μ，22)，则根据切比雪夫不等式得P{|—|μ≥2}≤_____________．

交换积分次序：∫01dxf(x，y)dy=___________．

设α1=则α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组为，其余的向量用极大线性无关组表示为．

二次型f（x1，x2，x3）=x12+5x22+x32—4x1x2+2x2x3的标准形可以是（）

求二元函数f(x，y)=x4+y4－2x2－2y2+4xy的极值．

求下列函数的导数与微分：设求y’与y’(1)．

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情感分为道德感、理智感和_________。

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