(2000年试题，五)求函数f(x)=x2ln(1+x)在x=0处的n阶导数fn(0)(n≥3)．

admin2014-05-19 51

问题 (2000年试题，五)求函数f(x)=x²ln(1+x)在x=0处的n阶导数fⁿ(0)(n≥3)．

选项

答案求函数的高阶导数在0点的值，可利用麦克劳林展开式[*]即只需将f(x)展开成麦克劳林级数，就可得到相应的高阶导数在0点的值，由题设f(x)=x²In(1+x)，则[*]由此知[*]，所以[*]

解析本题还可直接由莱布尼兹公式（uv）⁽ⁿ⁾=u⁽ⁿ⁾v⁽⁰⁾+C_n¹v^’+C_n²u^(n-2)vⁿ+……+u⁽⁰⁾v⁽ⁿ⁾及

而求，在莱布尼兹公式中，令u=In(1+x)，v=x²，则

因此

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