设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32,又A*α=α,其中α=(1,1,-1)T。 (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(x1,x2,x3)=XTAX化

admin2021-01-28  48

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32,又A*α=α,其中α=(1,1,-1)T
    (Ⅰ)求矩阵A;
    (Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(x1,x2,x3)=XTAX化为标准形。

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ1=2,λ2=-1,λ3=-1,|A|=2,伴随矩阵A*的特征值为μ1=1,μ2=-2,μ3=-2,由A*α=α得AA*α=Aα,即Aα=2α,即α=(1.1.-1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量。 令ζ=(x1,x2,x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=-1,λ3=-1的特征向量,因为A为实对称矩阵,所以αTζ=0,即x1+x2-x3=0, 于是λ2=-1,λ3=-1对应的线性无关的特征向量为α2=[*],α3=[*], 令P=(α1,α2,α3)=[*],由P-1AP=[*] 得[*] (Ⅱ) [*] 则f(x1,x2,x3)=XTAX,令X=QY,得f(x1,x2,x3)=2y12-y22-y32

解析
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