2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32，又A*α=α，其中α=(1，1，-1)T。 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32，又A*α=α，其中α=(1，1，-1)T。 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化

admin2021-01-28  71
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32，又A*α=α，其中α=(1，1，-1)T。
    (Ⅰ)求矩阵A；
    (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化为标准形。
选项
答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ1=2，λ2=-1，λ3=-1，｜A｜=2，伴随矩阵A*的特征值为μ1=1，μ2=-2，μ3=-2，由A*α=α得AA*α=Aα，即Aα=2α，即α=(1.1.-1)T是矩阵A的对应于特征值λ1=2的特征向量。 令ζ=(x1，x2，x3)T为矩阵A的对应于特征值λ2=-1，λ3=-1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以αTζ=0，即x1+x2-x3=0， 于是λ2=-1，λ3=-1对应的线性无关的特征向量为α2=[*]，α3=[*]， 令P=(α1，α2，α3)=[*]，由P-1AP=[*] 得[*] (Ⅱ) [*] 则f(x1，x2，x3)=XTAX，令X=QY，得f(x1，x2，x3)=2y12-y22-y32。
解析
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考研数学三

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