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设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32,又A*α=α,其中α=(1,1,-1)T。 (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(x1,x2,x3)=XTAX化
设二次型f(x1,x2,x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32,又A*α=α,其中α=(1,1,-1)T。 (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(x1,x2,x3)=XTAX化
admin
2021-01-28
77
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX经过正交变换化为标准形f=2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
,又A
*
α=α,其中α=(1,1,-1)
T
。
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求正交矩阵Q,使得经过正交变换X=QY,二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX化为标准形。
选项
答案
(Ⅰ)显然A的特征值为λ
1
=2,λ
2
=-1,λ
3
=-1,|A|=2,伴随矩阵A
*
的特征值为μ
1
=1,μ
2
=-2,μ
3
=-2,由A
*
α=α得AA
*
α=Aα,即Aα=2α,即α=(1.1.-1)
T
是矩阵A的对应于特征值λ
1
=2的特征向量。 令ζ=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
为矩阵A的对应于特征值λ
2
=-1,λ
3
=-1的特征向量,因为A为实对称矩阵,所以α
T
ζ=0,即x
1
+x
2
-x
3
=0, 于是λ
2
=-1,λ
3
=-1对应的线性无关的特征向量为α
2
=[*],α
3
=[*], 令P=(α
1
,α
2
,α
3
)=[*],由P
-1
AP=[*] 得[*] (Ⅱ) [*] 则f(x
1
,x
2
,x
3
)=X
T
AX,令X=QY,得f(x
1
,x
2
,x
3
)=2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eqx4777K
0
考研数学三
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