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设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32，又A*α=α，其中α=(1，1，-1)T。 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化
设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX经过正交变换化为标准形f=2y12-y22-y32，又A*α=α，其中α=(1，1，-1)T。 (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x1，x2，x3)=XTAX化
admin
2021-01-28
70
问题
设二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX经过正交变换化为标准形f=2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
，又A
*
α=α，其中α=(1，1，-1)
T
。
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交矩阵Q，使得经过正交变换X=QY，二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX化为标准形。
选项
答案
(Ⅰ)显然A的特征值为λ
1
=2，λ
2
=-1，λ
3
=-1，｜A｜=2，伴随矩阵A
*
的特征值为μ
1
=1，μ
2
=-2，μ
3
=-2，由A
*
α=α得AA
*
α=Aα，即Aα=2α，即α=(1.1.-1)
T
是矩阵A的对应于特征值λ
1
=2的特征向量。 令ζ=(x
1
，x
2
，x
3
)
T
为矩阵A的对应于特征值λ
2
=-1，λ
3
=-1的特征向量，因为A为实对称矩阵，所以α
T
ζ=0，即x
1
+x
2
-x
3
=0， 于是λ
2
=-1，λ
3
=-1对应的线性无关的特征向量为α
2
=[*]，α
3
=[*]， 令P=(α
1
，α
2
，α
3
)=[*]，由P
-1
AP=[*] 得[*] (Ⅱ) [*] 则f(x
1
，x
2
，x
3
)=X
T
AX，令X=QY，得f(x
1
，x
2
，x
3
)=2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/eqx4777K
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考研数学三
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