[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2019-04-05 63

问题 [2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(e^xcosy)满足

=(4z+e^xcosy)e^2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

选项

答案作变量代换u=e^xcosy将所给方程化为z对u的导数的新方程，解之即可求得f(u)的表达式．令u=e^xcosy，则z=f(e^xcosy)可看成是z=f(u)与u=e^xcosy的复合函数．先应用复合函数求导法则将z对x，y的偏导数所满足的方程化为z对u的导数所满足的方程： [*]=f′(u)e^xcosy，[*]=f′(u)(一e^xsiny)， [*][f′(u)e^xcosy]=f″(u)e^xcosy+f′(u)e^xcosy =f″(u)e^2xcos²y+f′(u)e^xcosy， ① [*][f′(u)(一e^xsiny)]=一f″(u)[*]e^xsiny－e^xcosyf′(u) =f″(u)esiny·e^xsiny·e^x－f′(u)e^xcosy=f″(u)e^2xsin²y—f′(u)e^xcosy． ② 由式①+式②得到[*]=f″(u)e^2x，代入原方程得到f″(u)e^2x=[4f(u)+u]e^2x，即 f″(u)一4f(u)=u ③ 于是求f(u)转化为解下述初值问题： [*]其中y=f(u)．其对应的特征方程为λ²一4=0，其特征值为λ=±2，从而其对应的齐次方程的通解为 Y=C₁e^2u+C₂e^-2u，其中c₁，c₂为任意常数．又由观察法易看出y″一4y=u的一个特解为y^*=一[*]u，显然y^*=一[*]u满足上述方程，于是方程③的通解为 y=Y+y^*=c₁e^2u+c₂e^-2u一[*]u．由初始条件y(0)=0，y′(0)=0得到c₁+c₂=0，2c₁一2c₂一[*]=0，解得c₁=[*],c₂=一[*] 综上得到f(u)的表达式为f(u)=[*].

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WPV4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

考研数学二

计算下列反常积分：

求极限，其中n为给定的自然数．

用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3

考虑二次型，问λ取何值时，f为正定二次型?

已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

椭球面S2是椭圆绕戈轴旋转一周而成，圆锥面S2是过点(4，0)且与椭圆相切的直线绕x轴旋转一周而成。(I)求S1及S2的方程；(Ⅱ)求S1与S2之间的立体体积。

半圆形闸门半径为R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度ρ=1。若坐标原点取在圆心，x轴正向朝下，则闸门所受压力P为()

当x→0+时，与等价的无穷小量是()

设f(x)=(Ⅰ)证明f(x)是以π为周期的周期函数．(Ⅱ)求f(x)的值域．

[2009年]设求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；

高效液相色谱法用于含量测定时，对系统性能的要求

刚体作平动时，某瞬时体内各点的速度与加速度为：

()的主要投资对象是资本市场上的上市股票与债券，货币市场上的短期票据与银行同业拆借，以及金融期货、黄金、期权交易、不动产等。

根据现行国家工程建设消防技术标准的要求，下列供暖系统的设置不符合相关规定的是()。

“三弦”这种乐器属于民族乐器中的()类。

元认知指的是对认知的认知，即认知主体关于自己认知过程的知识和调节这些过程的能力，对思维和学习活动的知识和控制。元认知的实质是对认知活动的自我意识和自我调节。根据上述定义，以下包含元认知的是()。

DerVatergibt______TochterdenWagen.

I_______thepicturefromthewallinordertocleanit.