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  3. [2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2019-04-05  105
问题 [2014年]  设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．
选项
答案作变量代换u=excosy将所给方程化为z对u的导数的新方程，解之即可求得f(u)的表达式． 令u=excosy，则z=f(excosy)可看成是z=f(u)与u=excosy的复合函数．先应用复合函数求导法则将z对x，y的偏导数所满足的方程化为z对u的导数所满足的方程： [*]=f′(u)excosy，[*]=f′(u)(一exsiny)， [*][f′(u)excosy]=f″(u)excosy+f′(u)excosy =f″(u)e2xcos2y+f′(u)excosy， ① [*][f′(u)(一exsiny)]=一f″(u)[*]exsiny－excosyf′(u) =f″(u)esiny·exsiny·ex－f′(u)excosy=f″(u)e2xsin2y—f′(u)excosy． ② 由式①+式②得到[*]=f″(u)e2x，代入原方程得到f″(u)e2x=[4f(u)+u]e2x， 即 f″(u)一4f(u)=u ③ 于是求f(u)转化为解下述初值问题： [*]其中y=f(u)． 其对应的特征方程为λ2一4=0，其特征值为λ=±2，从而其对应的齐次方程的通解为 Y=C1e2u+C2e-2u，其中c1，c2为任意常数． 又由观察法易看出y″一4y=u的一个特解为y*=一[*]u，显然y*=一[*]u满足上述方程，于是方程③的通解为 y=Y+y*=c1e2u+c2e-2u一[*]u． 由初始条件y(0)=0，y′(0)=0得到c1+c2=0，2c1一2c2一[*]=0，解得c1=[*],c2=一[*] 综上得到f(u)的表达式为f(u)=[*].
解析
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考研数学二

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