[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2019-04-05 56

问题 [2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(e^xcosy)满足

=(4z+e^xcosy)e^2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

选项

答案作变量代换u=e^xcosy将所给方程化为z对u的导数的新方程，解之即可求得f(u)的表达式．令u=e^xcosy，则z=f(e^xcosy)可看成是z=f(u)与u=e^xcosy的复合函数．先应用复合函数求导法则将z对x，y的偏导数所满足的方程化为z对u的导数所满足的方程： [*]=f′(u)e^xcosy，[*]=f′(u)(一e^xsiny)， [*][f′(u)e^xcosy]=f″(u)e^xcosy+f′(u)e^xcosy =f″(u)e^2xcos²y+f′(u)e^xcosy， ① [*][f′(u)(一e^xsiny)]=一f″(u)[*]e^xsiny－e^xcosyf′(u) =f″(u)esiny·e^xsiny·e^x－f′(u)e^xcosy=f″(u)e^2xsin²y—f′(u)e^xcosy． ② 由式①+式②得到[*]=f″(u)e^2x，代入原方程得到f″(u)e^2x=[4f(u)+u]e^2x，即 f″(u)一4f(u)=u ③ 于是求f(u)转化为解下述初值问题： [*]其中y=f(u)．其对应的特征方程为λ²一4=0，其特征值为λ=±2，从而其对应的齐次方程的通解为 Y=C₁e^2u+C₂e^-2u，其中c₁，c₂为任意常数．又由观察法易看出y″一4y=u的一个特解为y^*=一[*]u，显然y^*=一[*]u满足上述方程，于是方程③的通解为 y=Y+y^*=c₁e^2u+c₂e^-2u一[*]u．由初始条件y(0)=0，y′(0)=0得到c₁+c₂=0，2c₁一2c₂一[*]=0，解得c₁=[*],c₂=一[*] 综上得到f(u)的表达式为f(u)=[*].

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WPV4777K

考研数学二

相关试题推荐

随机试题

最新回复(0)

[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

考研数学二

设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)∫0xf(x－t)dt=sin4x，求f(x)在上的平均值．

用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3

位于上半平面向上凹的曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为0，在点(2，2)处的切线斜率为1．已知曲线上任一点处的曲率半径与的乘积成正比，求该曲线方程．

设有参数方程0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y＝y(χ)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y＝y(χ)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y＝y(χ)的凹凸性．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=1，证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη－ξ[f(η)+f’(η)]=1．

设f(x)在[a，b上连续，且f(x)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．

求微分方程y"+4y’+4y=e-2x的通解．

已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，证明：A不可逆．

设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中①AB～BA；②A2～B2；③AT～BT；④A－1～B－1。正确的个数为()

[2005年]设D={(x，y)∣x2+y2≤√2，x≥0，y≥0)，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy．

某男，60岁。患瘰疬10年，近5年时发偏头痛与头疮，曾多方诊治而乏效，遂就诊于某中医。医师在处方中投以全蝎，此因该药除息风止痉、攻毒散结外，还能

对肥厚型梗阻性心肌病的诊断最有意义的是()

关于工程造价指标，下列说法正确的是()。

假如你的一首五言绝句被杂志社采用，按照正文部分每字五元来算，你应得多少稿费?()

我国公务员职务实行（）。

下列选项中属于趋避动机冲突的有()。(2013年)

在DMA有效操作周期中，是在(　　　)工作状态对外设的DMA请求作出响应的。

Readtheletterbelow.ChoosethebestwordtofillineachgapfromA,B,CorDontheoppositepage.Foreachquestion19—33

Thegoods()whenwearrivedattheairport.

[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

考研数学二

设f(x)为非负连续函数，且满足f(x)∫0xf(x－t)dt=sin4x，求f(x)在上的平均值．

用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3

位于上半平面向上凹的曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为0，在点(2，2)处的切线斜率为1．已知曲线上任一点处的曲率半径与的乘积成正比，求该曲线方程．

设有参数方程0≤t≤π．(Ⅰ)求证该参数方程确定y＝y(χ)，并求定义域；(Ⅱ)讨论y＝y(χ)的可导性与单调性；(Ⅲ)讨论y＝y(χ)的凹凸性．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，且f(a)=f(b)=1，证明必存在ξ，η∈(a，b)，使得eη－ξ[f(η)+f’(η)]=1．

设f(x)在[a，b上连续，且f(x)>0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫aξf(x)dx=∫ξbf(x)dx．

求微分方程y"+4y’+4y=e-2x的通解．

已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，证明：A不可逆．

设A，B均为n阶矩阵，A可逆，且A～B，则下列命题中①AB～BA；②A2～B2；③AT～BT；④A－1～B－1。正确的个数为()

[2005年]设D={(x，y)∣x2+y2≤√2，x≥0，y≥0)，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数，计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy．

某男，60岁。患瘰疬10年，近5年时发偏头痛与头疮，曾多方诊治而乏效，遂就诊于某中医。医师在处方中投以全蝎，此因该药除息风止痉、攻毒散结外，还能

对肥厚型梗阻性心肌病的诊断最有意义的是()

关于工程造价指标，下列说法正确的是()。

假如你的一首五言绝句被杂志社采用，按照正文部分每字五元来算，你应得多少稿费?()

我国公务员职务实行（）。

下列选项中属于趋避动机冲突的有()。(2013年)

在DMA有效操作周期中，是在( )工作状态对外设的DMA请求作出响应的。

Readtheletterbelow.ChoosethebestwordtofillineachgapfromA,B,CorDontheoppositepage.Foreachquestion19—33

Thegoods()whenwearrivedattheairport.

在DMA有效操作周期中，是在(　　　)工作状态对外设的DMA请求作出响应的。