[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2019-04-05 64

问题 [2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(e^xcosy)满足

=(4z+e^xcosy)e^2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

选项

答案作变量代换u=e^xcosy将所给方程化为z对u的导数的新方程，解之即可求得f(u)的表达式．令u=e^xcosy，则z=f(e^xcosy)可看成是z=f(u)与u=e^xcosy的复合函数．先应用复合函数求导法则将z对x，y的偏导数所满足的方程化为z对u的导数所满足的方程： [*]=f′(u)e^xcosy，[*]=f′(u)(一e^xsiny)， [*][f′(u)e^xcosy]=f″(u)e^xcosy+f′(u)e^xcosy =f″(u)e^2xcos²y+f′(u)e^xcosy， ① [*][f′(u)(一e^xsiny)]=一f″(u)[*]e^xsiny－e^xcosyf′(u) =f″(u)esiny·e^xsiny·e^x－f′(u)e^xcosy=f″(u)e^2xsin²y—f′(u)e^xcosy． ② 由式①+式②得到[*]=f″(u)e^2x，代入原方程得到f″(u)e^2x=[4f(u)+u]e^2x，即 f″(u)一4f(u)=u ③ 于是求f(u)转化为解下述初值问题： [*]其中y=f(u)．其对应的特征方程为λ²一4=0，其特征值为λ=±2，从而其对应的齐次方程的通解为 Y=C₁e^2u+C₂e^-2u，其中c₁，c₂为任意常数．又由观察法易看出y″一4y=u的一个特解为y^*=一[*]u，显然y^*=一[*]u满足上述方程，于是方程③的通解为 y=Y+y^*=c₁e^2u+c₂e^-2u一[*]u．由初始条件y(0)=0，y′(0)=0得到c₁+c₂=0，2c₁一2c₂一[*]=0，解得c₁=[*],c₂=一[*] 综上得到f(u)的表达式为f(u)=[*].

解析

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考研数学二

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[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

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设矩阵．已知线性方程组Ax＝β有解但不唯一，试求：(1)a的值；(2)正交矩阵Q，使QTAQ为对角矩阵．

设其中f(x)在x=0处二阶可导，且f(0)=f’(0)=1．(1)a、b为何值时，g(x)在x=0处连续．(2)a、b为何值时，g(x)在x=0处可导．

求常数a，b使得f(x)=在x=0处可导．

判别积分∫0+∞的敛散性．

用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3

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(2012年)设区域D由曲线y=sin，x=，y=1围成，则(xy5-1)dxdy=

[2009年]设z=f(x+y，x—y，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求dz与.

善治暑湿或湿温初起的药物是（　　）。善治风寒挟湿表证的药物是（　　）。

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混凝土灌注柱按其成孔方法不同可分为()。

根据《水利工程施工监理规范》SL288—2014的有关规定，监理人应检查、督促承包人对发包人提供的测量基准点进行()，并督促承包人在此基础上完成施工测量控制网的布设及施工区原始地形图的测绘。

下列各项中,不属于资产负债表流动负债项目的是()。

消费者的()是指消费者在自主选择商品或服务时，有权进行比较、鉴别和挑选。

课程的构成通常包括()。

Virtuallyeverythingastronomersknownaboutobjectsoutsidethesolarsystemisbasedonthedetectionofphotons—quantaofele

PoliceLesson:SocialNetworkToolsHaveTwoEdgesOfficerTreyEconomidyoftheAlbuquerquepolicenowrealizesthathesho

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