[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2019-04-05 86

问题 [2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(e^xcosy)满足

=(4z+e^xcosy)e^2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

选项

答案作变量代换u=e^xcosy将所给方程化为z对u的导数的新方程，解之即可求得f(u)的表达式．令u=e^xcosy，则z=f(e^xcosy)可看成是z=f(u)与u=e^xcosy的复合函数．先应用复合函数求导法则将z对x，y的偏导数所满足的方程化为z对u的导数所满足的方程： [*]=f′(u)e^xcosy，[*]=f′(u)(一e^xsiny)， [*][f′(u)e^xcosy]=f″(u)e^xcosy+f′(u)e^xcosy =f″(u)e^2xcos²y+f′(u)e^xcosy， ① [*][f′(u)(一e^xsiny)]=一f″(u)[*]e^xsiny－e^xcosyf′(u) =f″(u)esiny·e^xsiny·e^x－f′(u)e^xcosy=f″(u)e^2xsin²y—f′(u)e^xcosy． ② 由式①+式②得到[*]=f″(u)e^2x，代入原方程得到f″(u)e^2x=[4f(u)+u]e^2x，即 f″(u)一4f(u)=u ③ 于是求f(u)转化为解下述初值问题： [*]其中y=f(u)．其对应的特征方程为λ²一4=0，其特征值为λ=±2，从而其对应的齐次方程的通解为 Y=C₁e^2u+C₂e^-2u，其中c₁，c₂为任意常数．又由观察法易看出y″一4y=u的一个特解为y^*=一[*]u，显然y^*=一[*]u满足上述方程，于是方程③的通解为 y=Y+y^*=c₁e^2u+c₂e^-2u一[*]u．由初始条件y(0)=0，y′(0)=0得到c₁+c₂=0，2c₁一2c₂一[*]=0，解得c₁=[*],c₂=一[*] 综上得到f(u)的表达式为f(u)=[*].

解析

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考研数学二

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[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

考研数学二

已知4阶方阵A=[α1，α2，α3，α4]，α1，α2，α3，α4均为4维列向量，其中α2，α3，α4线性无关，α1=2α2一α3，如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组AX=β的通解．

设f(x)在[0，a](a>0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：

在半径为a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?

设f(χ)，g(χ)在(a，b)内可导，g(χ)≠0且＝0(χ∈(a，b))．证明：存在常数c，使得f(χ)＝cg(χ)，χ∈(a，b)．

计算二重积分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。

设α＞0，β＞0为任意正数，当χ→∞时将无穷小量：，e-χ按从低阶到高阶的顺序排列．

设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．

求极限：．

设x→a时，f(x)与g(x)分别是x—a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是()①f(x)g(x)是x—a的n+m阶无穷小；②若n＞m，则是x一a的n—m阶无穷小；③若n≤m，则f(x)+g(x)是x一a的n阶无穷小。

(2004年试题，一)设则f(x)的间断点为x=_________.

理想上，民主尊重缓慢的原则，_要让所有受影响的人有表达机会，然后大家沟通、讨论、决策，_不是一味追求效率。填入画横线部分最恰当的一项是()。

全科医生的工作方式不包括

适宜制成混悬型液体药剂的药物有

对有偿提供应税劳务、转让无形资产和销售不动产的单位和个人取得的营业额征收的一种税是()

高级神经活动过程的基本特性表现为强、平衡、不灵活，其对应气质类型应为()。

警察现在的含义一般是指具有()性质的维护社会秩序，保卫国家安全的国家行政力量。

有一种红砖，长24厘米、宽12厘米、高5厘米，至少用多少块红砖才能拼成一个实心的正方体?()

A、Doubtful.B、Reserved.C、Indifferent.D、Supportive.D从选项预测本题询问的是态度。女士在采访结束时说人们可能对该组织做事的方式持不同看法，但他们做的事情很了不起，希望他们继续并祝他们好运，故选D。长对话

[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

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设f(x)在[0，a](a>0)上非负、二阶可导，且f(0)=0，为y=f(x)，y=0，x=a围成区域的形心，证明：

在半径为a的半球外作一外切圆锥体，要使圆锥体体积最小，问高度及底半径应是多少?

设f(χ)，g(χ)在(a，b)内可导，g(χ)≠0且＝0(χ∈(a，b))．证明：存在常数c，使得f(χ)＝cg(χ)，χ∈(a，b)．

计算二重积分，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。

设α＞0，β＞0为任意正数，当χ→∞时将无穷小量：，e-χ按从低阶到高阶的顺序排列．

设α1,α2……αs为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βs=t1αs+t2α1，其中t1，t2为实常数．试问t1，t2满足什么关系时，β1β2……βs也为Ax=0的一个基础解系．

求极限：．

设x→a时，f(x)与g(x)分别是x—a的n阶与m阶无穷小，则下列命题中，正确的个数是()①f(x)g(x)是x—a的n+m阶无穷小；②若n＞m，则是x一a的n—m阶无穷小；③若n≤m，则f(x)+g(x)是x一a的n阶无穷小。

(2004年试题，一)设则f(x)的间断点为x=_________.

理想上，民主尊重缓慢的原则，_____要让所有受影响的人有表达机会，然后大家沟通、讨论、决策，_____不是一味追求效率。填入画横线部分最恰当的一项是()。

全科医生的工作方式不包括

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对有偿提供应税劳务、转让无形资产和销售不动产的单位和个人取得的营业额征收的一种税是()

高级神经活动过程的基本特性表现为强、平衡、不灵活，其对应气质类型应为()。

警察现在的含义一般是指具有()性质的维护社会秩序，保卫国家安全的国家行政力量。

有一种红砖，长24厘米、宽12厘米、高5厘米，至少用多少块红砖才能拼成一个实心的正方体?()

A、Doubtful.B、Reserved.C、Indifferent.D、Supportive.D从选项预测本题询问的是态度。女士在采访结束时说人们可能对该组织做事的方式持不同看法，但他们做的事情很了不起，希望他们继续并祝他们好运，故选D。长对话

理想上，民主尊重缓慢的原则，_要让所有受影响的人有表达机会，然后大家沟通、讨论、决策，_不是一味追求效率。填入画横线部分最恰当的一项是()。