[2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(excosy)满足=(4z+excosy)e2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2019-04-05 99

问题 [2014年] 设函数f(u)二阶连续可导，z=f(e^xcosy)满足

=(4z+e^xcosy)e^2x，若f(0)=0，f′(0)=0，求f(u)的表达式．

选项

答案作变量代换u=e^xcosy将所给方程化为z对u的导数的新方程，解之即可求得f(u)的表达式．令u=e^xcosy，则z=f(e^xcosy)可看成是z=f(u)与u=e^xcosy的复合函数．先应用复合函数求导法则将z对x，y的偏导数所满足的方程化为z对u的导数所满足的方程： [*]=f′(u)e^xcosy，[*]=f′(u)(一e^xsiny)， [*][f′(u)e^xcosy]=f″(u)e^xcosy+f′(u)e^xcosy =f″(u)e^2xcos²y+f′(u)e^xcosy， ① [*][f′(u)(一e^xsiny)]=一f″(u)[*]e^xsiny－e^xcosyf′(u) =f″(u)esiny·e^xsiny·e^x－f′(u)e^xcosy=f″(u)e^2xsin²y—f′(u)e^xcosy． ② 由式①+式②得到[*]=f″(u)e^2x，代入原方程得到f″(u)e^2x=[4f(u)+u]e^2x，即 f″(u)一4f(u)=u ③ 于是求f(u)转化为解下述初值问题： [*]其中y=f(u)．其对应的特征方程为λ²一4=0，其特征值为λ=±2，从而其对应的齐次方程的通解为 Y=C₁e^2u+C₂e^-2u，其中c₁，c₂为任意常数．又由观察法易看出y″一4y=u的一个特解为y^*=一[*]u，显然y^*=一[*]u满足上述方程，于是方程③的通解为 y=Y+y^*=c₁e^2u+c₂e^-2u一[*]u．由初始条件y(0)=0，y′(0)=0得到c₁+c₂=0，2c₁一2c₂一[*]=0，解得c₁=[*],c₂=一[*] 综上得到f(u)的表达式为f(u)=[*].

解析

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考研数学二

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