设z=z(x,y)有连续的二阶偏导数并满足 ① (Ⅰ)作变量替换u=3x+y,v=x+y,以u,v作为新的自变量,变换上述方程; (Ⅱ)求满足上述方程的z(x,y).

admin2017-07-10  71

问题 设z=z(x,y)有连续的二阶偏导数并满足
      ①
(Ⅰ)作变量替换u=3x+y,v=x+y,以u,v作为新的自变量,变换上述方程;
(Ⅱ)求满足上述方程的z(x,y).

选项

答案(Ⅰ)将z对x,y的偏导数转换为z对u,v的偏导数.由复合函数求导法得 [*] 这里[*]仍是u,v的函数,而u,v又是x,y的函数,因而 [*] 将②,③,④代入原方程①得 [*] (Ⅱ)由题(Ⅰ),在变量替换u=3x+y,v=x+y下,求解满足①的z=z(x,y)转化为求解满足⑤的z=z(u,v). 由⑤式=>[*]=0,对v积分得[*]=f(u),其中f(u)为任意的有连续导数的函数. 再对u积分得 z=φ(u)+ψ(v),其中φ,ψ为任意的有连续的二阶导数的函数. 回到原变量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y).

解析
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