2. 考研
  3. 设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f’x(a，b)=0， 且当r(a，b)＞0

设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是： f(a，b)=0，f’x(a，b)=0， 且当r(a，b)＞0

admin2021-11-15  15
问题 设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是：
f(a，b)=0，f’x(a，b)=0，
且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值．其中
选项
答案y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0．按隐函数求导法，φ’(x)满足 f’x(x，φ(x))+f’y(x，φ(x))φ’(x)=0． (*) 因b=φ(a)，则有 f(a，b)=0，φ’(a)=－f’x(a，b)／f’y(a，b)=0， 于是f’x(a，b)=0． 将(*)式两边对x求导得 f"xx(x，φ(x))+f"xy(x，φ(x))φ’(x)+[*][f’y(x，φ(x))]φ’(x)+f’y(x，φ(x))φ"(x)=0， 上式中令x=a，φ(a)=b，φ’(a)=0，得 φ"(a)=－f"xx(a，b)／f’y(a，b)． 因此当f"xx(a，b)／f’y(a，b)＞0时，φ"(a)＜0，故b=φ(a)是极大值； 当f"xx(a，b)／f’y(a，b)＜0时，φ"(a)＞0，故b=φ(a)是极小值．
解析
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考研数学一

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