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设f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f’y(a,b)≠0,证明由方程f(x,y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是: f(a,b)=0,f’x(a,b)=0, 且当r(a,b)>0
设f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f’y(a,b)≠0,证明由方程f(x,y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是: f(a,b)=0,f’x(a,b)=0, 且当r(a,b)>0
admin
2021-11-15
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问题
设f(x,y)在点(a,b)的某邻域具有二阶连续偏导数,且f’
y
(a,b)≠0,证明由方程f(x,y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是:
f(a,b)=0,f’
x
(a,b)=0,
且当r(a,b)>0时,b=φ(a)是极大值;当r(a,b)<0时,b=φ(a)是极小值.其中
选项
答案
y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0.按隐函数求导法,φ’(x)满足 f’
x
(x,φ(x))+f’
y
(x,φ(x))φ’(x)=0. (*) 因b=φ(a),则有 f(a,b)=0,φ’(a)=-f’
x
(a,b)/f’
y
(a,b)=0, 于是f’
x
(a,b)=0. 将(*)式两边对x求导得 f"
xx
(x,φ(x))+f"
xy
(x,φ(x))φ’(x)+[*][f’
y
(x,φ(x))]φ’(x)+f’
y
(x,φ(x))φ"(x)=0, 上式中令x=a,φ(a)=b,φ’(a)=0,得 φ"(a)=-f"
xx
(a,b)/f’
y
(a,b). 因此当f"
xx
(a,b)/f’
y
(a,b)>0时,φ"(a)<0,故b=φ(a)是极大值; 当f"
xx
(a,b)/f’
y
(a,b)<0时,φ"(a)>0,故b=φ(a)是极小值.
解析
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考研数学一
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