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设ɑ1,ɑ2,ɑ3,ɑ4为4维列向量,满足ɑ2,ɑ3,ɑ4线性无关,且ɑ1+ɑ3=2ɑ2. 令A=(ɑ1,ɑ2,ɑ3,ɑ4),β=ɑ1+ɑ2+ɑ3+ɑ4求线性方程组Ax=β的通解.
设ɑ1,ɑ2,ɑ3,ɑ4为4维列向量,满足ɑ2,ɑ3,ɑ4线性无关,且ɑ1+ɑ3=2ɑ2. 令A=(ɑ1,ɑ2,ɑ3,ɑ4),β=ɑ1+ɑ2+ɑ3+ɑ4求线性方程组Ax=β的通解.
admin
2019-08-26
75
问题
设ɑ
1
,ɑ
2
,ɑ
3
,ɑ
4
为4维列向量,满足ɑ
2
,ɑ
3
,ɑ
4
线性无关,且ɑ
1
+ɑ
3
=2ɑ
2
.
令A=(ɑ
1
,ɑ
2
,ɑ
3
,ɑ
4
),β=ɑ
1
+ɑ
2
+ɑ
3
+ɑ
4
求线性方程组Ax=β的通解.
选项
答案
先求Ax=0的基础解系. 由于α
2
,α
3
,α
4
线性无关,且α
1
=2α
2
—α
3
,得R(A)=3.又因为α
1
—2α
2
+α
3
+ 0·α
4
=0, 故Ax=0基础解系为(1,—2,1,0)
T
.再求Ax=β的一个特解. 由于β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
,故(1,1,1.1)
T
为一个特解.所以,Ax=β的通解为 (1,1,1,1)
T
+k(1,—2,l,0)
T
,k为常数.
解析
【思路探索】利用非齐次线性方程组解的结构求解.先求对应导出组的基础解系,再求一个特解.
【错例分析】本题的主要错误在于未能利用条件α
1
+α
3
=2α
2
:得到Ax=0的基础解系,未能利用β=
1
十α
2
+α
3
+α
4
得到Ax=β的特解.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/WSJ4777K
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考研数学三
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