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设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵P=,其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. 证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵P=,其中A*是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵. 证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b.
admin
2018-06-14
65
问题
设A为n阶可逆矩阵,α为n维列向量,b为常数,记分块矩阵P=
,其中A
*
是A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵.
证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α
T
A
-1
α≠b.
选项
答案
用拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有 [*] =|A|
2
(b一α
T
TA
-1
α). 因为矩阵A可逆,行列式|A|≠0,故|Q|=|A|(b一α
T
A
-1
α). 由此可知,Q可逆的充分必要条件是b一α
T
A
-1
α≠0,即α
T
A
-1
α≠b.
解析
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考研数学三
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