2. 考研
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设向量组(I)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，一1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T。试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(

admin2018-12-19  63
问题 设向量组(I)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，一1，a+2)T和向量组(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T。试问：当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)等价?当a为何值时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价?
选项
答案对矩阵(α1，α2，α3 [*]β1，β2，β3)作初等行变换，有 (α1，α2，α3 [*] β1，β2，β3) [*] 当a≠一1时，行列式｜α1，α2，α3｜=a+1≠0，由克拉默法则可知线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=βi(i=1，2，3)均有唯一解，此时向量组(Ⅱ)可由向量组(I)线性表示。同理，由行列式｜β1，β2，β3｜=6≠0，可知向量组(I)也可由向量组(Ⅱ)线性表示。向量组(I)与(Ⅱ)等价。 当a=一1时，有 (α1，α2，α3 [*] β1，β2，β3) [*] 因为r(α1，α2，α3)≠r(α1，α2，α3，β1)，所以线性方程组x1α1+x2α2+x3α3=β1无解，即β1不能由α1，α2，α3线性表示。向量组(I)与(Ⅱ)不等价。 综上所述，当a≠一1时，向量组(I)与(Ⅱ)等价；当a=一1时，向量组(I)与(Ⅱ)不等价。
解析
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考研数学二

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