设A是一个n阶实矩阵，使得AT＋A正定，证明A可逆．

admin2016-10-21 31

问题设A是一个n阶实矩阵，使得A^T＋A正定，证明A可逆．

选项

答案矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然A^T＋A正定可得｜A^T＋A｜≠0，但是由此不能推出｜A｜≠0．用秩也不好下手．用“AX＝0没有非零解”则切合条件．设n维实列向量α满足Aα＝0，要证明α＝0． α(A^T＋A)α＝α^TA^Tα＋α^TAα＝(Aα)^Tα＋α^TAα＝0．由A^T＋A的正定性得到α＝0．

解析

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