计算下列二重积分: (Ⅰ)cydσ,其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域; (Ⅱ)xydσ,其中D是由曲线y=,x2+(y一1)2=1与y轴围成的在右上方的部分。

admin2018-11-21  30

问题 计算下列二重积分:
(Ⅰ)cydσ,其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域;
(Ⅱ)xydσ,其中D是由曲线y=,x2+(y一1)2=1与y轴围成的在右上方的部分。

选项

答案(Ⅰ)积分域D见图9.51.D的极坐标表示是:0≤θ≤[*],0≤r≤sin2θ,于是 [*] (Ⅱ)选用极坐标系,所涉及两个圆的极坐标方程为r=1与r=2sinθ,交点的极坐标为(1,[*]),见图9.52,于是积分域D的极坐标表示为D={(r,θ)|[*],1≤r≤2sinθ},则 [*]

解析 第(Ⅱ)小题的积分域涉及圆,自然应该用极坐标系.第(Ⅰ)小题尽管与圆无关,但是若用直角坐标系,则边界曲线的表达式很复杂,所以也应该用极坐标系.
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