设A=E-ααT，其中α为n维非零列向量．证明：A2=A的充分必要条件是α为单位向量；当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

admin2022-11-03 247

问题设A=E-αα^T，其中α为n维非零列向量．证明：A²=A的充分必要条件是α为单位向量；当α是单位向量时A为不可逆矩阵．

选项

答案令α^Tα=k，则A²=(E+αα^T)(E-αα^T)=E-2αα^T+kαα^T，因为α为非零向量，所以αα^T≠0，于是A²=A的充分必要条件是k=1，而α^Tα=｜α｜²，所以A²=A的充要条件是α为单位向量．当α是单位向量时，由A²=A得r(A)+r(E-A)=n因为E-A=αα^T≠0，所以r(E-A)≥1，于是r(A)≤n-1＜n，故A是不可逆矩阵．

解析

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