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设ψ(x)=ex-∫0x(x-u)ψ(u)du,其中ψ(x)为连续函数,求ψ(x).
设ψ(x)=ex-∫0x(x-u)ψ(u)du,其中ψ(x)为连续函数,求ψ(x).
admin
2022-10-13
47
问题
设ψ(x)=e
x
-∫
0
x
(x-u)ψ(u)du,其中ψ(x)为连续函数,求ψ(x).
选项
答案
原方程化简得ψ(x)=e
x
-x∫
0
x
ψ(u)du+∫
0
x
uψ(u)du,两端关于x求导数 ψ’(x)=e
x
-∫
0
x
ψ(u)du,即ψ"(x)+ψ(x)=e
x
该微分方程所对应的齐次方程的特征方程为r
2
+1=0,其特征根为r=±i 所以齐次方程的通解为y=C
1
cosx+C
2
sinx 设ψ"(x)+ψ(x)=e
x
的特解为y
*
=Ae
x
,代入方程求得A=[*],故知 ψ(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+[*]e
x
又ψ(0)=1,ψ’(0)=1,于是C
1
=C
2
=[*],所以ψ(x)=[*]cosx+[*]sinx+[*]e
x
解析
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0
考研数学三
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