设ψ(x)=ex－∫0x(x－u)ψ(u)du，其中ψ(x)为连续函数，求ψ(x).

admin2022-10-13 40

问题设ψ(x)=e^x－∫₀^x(x－u)ψ(u)du，其中ψ(x)为连续函数，求ψ(x).

选项

答案原方程化简得ψ(x)=e^x－x∫₀^xψ(u)du+∫₀^xuψ(u)du，两端关于x求导数 ψ’(x)=e^x－∫₀^xψ(u)du,即ψ"(x)+ψ(x)=e^x 该微分方程所对应的齐次方程的特征方程为r²+1=0，其特征根为r=±i 所以齐次方程的通解为y=C₁cosx+C₂sinx 设ψ"(x)+ψ(x)=e^x的特解为y^*=Ae^x,代入方程求得A=[*],故知 ψ(x)=C₁cosx+C₂sinx+[*]e^x 又ψ(0)=1,ψ’(0)=1,于是C₁=C₂=[*],所以ψ(x)=[*]cosx+[*]sinx+[*]e^x

解析

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考研数学三

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