2. 考研
  3. 设ψ(x)=ex－∫0x(x－u)ψ(u)du，其中ψ(x)为连续函数，求ψ(x).

设ψ(x)=ex－∫0x(x－u)ψ(u)du，其中ψ(x)为连续函数，求ψ(x).

admin2022-10-13  81
问题 设ψ(x)=ex－∫0x(x－u)ψ(u)du，其中ψ(x)为连续函数，求ψ(x).
选项
答案原方程化简得ψ(x)=ex－x∫0xψ(u)du+∫0xuψ(u)du，两端关于x求导数 ψ’(x)=ex－∫0xψ(u)du,即ψ"(x)+ψ(x)=ex 该微分方程所对应的齐次方程的特征方程为r2+1=0，其特征根为r=±i 所以齐次方程的通解为y=C1cosx+C2sinx 设ψ"(x)+ψ(x)=ex的特解为y*=Aex,代入方程求得A=[*],故知 ψ(x)=C1cosx+C2sinx+[*]ex 又ψ(0)=1,ψ’(0)=1,于是C1=C2=[*],所以ψ(x)=[*]cosx+[*]sinx+[*]ex
解析
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考研数学三

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