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  3. 设h＞0，f(x)在[a-h，a+h]上连续，在(a-h，a+h)内可导，证明：存在0＜θ＜1使得

设h＞0，f(x)在[a-h，a+h]上连续，在(a-h，a+h)内可导，证明：存在0＜θ＜1使得

admin2016-10-20  80
问题 设h＞0，f(x)在[a-h，a+h]上连续，在(a-h，a+h)内可导，证明：存在0＜θ＜1使得
选项
答案令F(x)=f(a+x)+f(a-x)，则F(x)在[0，h]上连续，在(0，h)内可导，由拉格朗日中值定理可得存在0∈(0，1)使得 [*] 由于 F(h)-F(0)=f(a+h)+f(a-h)-2f(a)， F’(x)=f’(a+x)-f’(a-x)， F’(θh)=f’(a+θh)-f’(a-θh)， 因此存在满足0＜θ＜1的θ使得 [*]
解析 在[a，a+h]和[a-h，a]上分别对f(x)应用拉格朗日中值定理可得到存在θ1，θ2∈(0，1)使得
f(a+h)-f(a)=f’(a+θ1h)h，  f(a-h)-f(a)=-f’(a-θ2h)h，
这时有

然而θ1与θ2未必相等．若将f(a+h)-2f(a)+f(a-h)重新组合成
    f(a+h)-2f(a)+f(a-h)=[f(a+h)+f(a-h))]-[f(a+0)+f(a-0)]，
我们发现它是F(x)=f(a+x)+f(a-x)在点x=h的值减去在点x=0的值，并且f’(a+θh)-f’(a-θh)=F’(θh)，要证的等式就是对F(x)在[0，h]上应用拉格朗日中值定理的结果．
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考研数学三

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