设h>0,f(x)在[a-h,a+h]上连续,在(a-h,a+h)内可导,证明:存在0<θ<1使得

admin2016-10-20  34

问题 设h>0,f(x)在[a-h,a+h]上连续,在(a-h,a+h)内可导,证明:存在0<θ<1使得

选项

答案令F(x)=f(a+x)+f(a-x),则F(x)在[0,h]上连续,在(0,h)内可导,由拉格朗日中值定理可得存在0∈(0,1)使得 [*] 由于 F(h)-F(0)=f(a+h)+f(a-h)-2f(a), F’(x)=f’(a+x)-f’(a-x), F’(θh)=f’(a+θh)-f’(a-θh), 因此存在满足0<θ<1的θ使得 [*]

解析 在[a,a+h]和[a-h,a]上分别对f(x)应用拉格朗日中值定理可得到存在θ1,θ2∈(0,1)使得
f(a+h)-f(a)=f’(a+θ1h)h,  f(a-h)-f(a)=-f’(a-θ2h)h,
这时有

然而θ1与θ2未必相等.若将f(a+h)-2f(a)+f(a-h)重新组合成
    f(a+h)-2f(a)+f(a-h)=[f(a+h)+f(a-h))]-[f(a+0)+f(a-0)],
我们发现它是F(x)=f(a+x)+f(a-x)在点x=h的值减去在点x=0的值,并且f’(a+θh)-f’(a-θh)=F’(θh),要证的等式就是对F(x)在[0,h]上应用拉格朗日中值定理的结果.
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