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设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。 (Ⅰ)证明:A-2E为可逆矩阵,其中E为n阶单位矩阵; (Ⅱ)证明:AB=BA; (Ⅲ)已知B=,求矩阵A。
设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。 (Ⅰ)证明:A-2E为可逆矩阵,其中E为n阶单位矩阵; (Ⅱ)证明:AB=BA; (Ⅲ)已知B=,求矩阵A。
admin
2018-01-26
45
问题
设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。
(Ⅰ)证明:A-2E为可逆矩阵,其中E为n阶单位矩阵;
(Ⅱ)证明:AB=BA;
(Ⅲ)已知B=
,求矩阵A。
选项
答案
(Ⅰ)由A+2B=AB,有AB-2B-A+2E=2E,即 (A-2E).[*](B-E)=E, 根据矩阵可逆的定义,所以矩阵A-2E可逆。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知(A-2E)
-1
=[*](B-E)。那么 (A-2E).[*](B-E)=[*](B-E)(A-2E), 即有 AB-A-2B+2E=BA-2B-A+2E, 故AB=BA。 (Ⅲ)由(A-2E).[*](B-E)=E知A-2E=[ [*](B-E)]
-1
,得A=2(B-E)
-1
+2E。 因为 (B-E)
-1
=[*] 所以 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Wcr4777K
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考研数学一
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