2. 考研
  3. 设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。 (Ⅰ)证明：A-2E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵； (Ⅱ)证明：AB=BA； (Ⅲ)已知B=，求矩阵A。

设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。 (Ⅰ)证明：A-2E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵； (Ⅱ)证明：AB=BA； (Ⅲ)已知B=，求矩阵A。

admin2018-01-26  31
问题 设n阶矩阵A和B满足A+2B=AB。
(Ⅰ)证明：A-2E为可逆矩阵，其中E为n阶单位矩阵；
(Ⅱ)证明：AB=BA；
(Ⅲ)已知B=，求矩阵A。
选项
答案(Ⅰ)由A+2B=AB，有AB-2B-A+2E=2E，即 (A-2E).[*](B-E)=E， 根据矩阵可逆的定义，所以矩阵A-2E可逆。 (Ⅱ)由(Ⅰ)知(A-2E)-1=[*](B-E)。那么 (A-2E).[*](B-E)=[*](B-E)(A-2E)， 即有 AB-A-2B+2E=BA-2B-A+2E， 故AB=BA。 (Ⅲ)由(A-2E).[*](B-E)=E知A-2E=[ [*](B-E)]-1，得A=2(B-E)-1+2E。 因为 (B-E)-1=[*] 所以 [*]
解析
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考研数学一

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