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设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,…,xn)=. (1)记x=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x1,x2,…,xn)=. (1)记x=(x1,x2,…,xn)T,把f(x1,x2,…,xn)写成矩阵形式,并证明二次型
admin
2016-04-11
65
问题
设A为n阶实对称矩阵,秩(A)=n,A
ij
是A=(a
ij
)
n×n
中元素a
ij
的代数余子式(i,j=1,2,…,n),二次型f(x
1
,x
2
,…,x
n
)=
.
(1)记x=(x
1
,x
2
,…,x
n
)
T
,把f(x
1
,x
2
,…,x
n
)写成矩阵形式,并证明二次型f(x)的矩阵为A
—1
;
(2)二次型g(X)=X
T
AX与f(X)的规范形是否相同?说明理由.
选项
答案
(1) f(X)=(x
1
,x
2
,…,x
n
)[*] 因秩(A)=n,故A可逆,且A
-1
=[*]A
*
,从而(A
-1
)
T
=(A
T
)
-1
=A
-1
,故A
-1
也是实对称矩阵,因此二次型f(X)的矩阵为 [*] (2)因为(A
-1
)
T
AA
-1
=(A
T
)
-1
E=A
-1
,所以A与A
-1
合同,于是g(X)与f(X)有相同的规范形.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/gVw4777K
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考研数学一
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