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[2000年] 已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x),其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方
[2000年] 已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x),其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方
admin
2019-06-09
106
问题
[2000年] 已知f(x)是周期为5的连续函数,它在x=0的邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x),其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量,且f(x)在x=1处可导,求曲线y=f(x)在点(6,f(6))处的切线方程.
选项
答案
求切线方程的难点在于求f'(1).因题中只给出了函数f(x)在一点x=1处可导,这就决定了只能用导数定义求出f'(1). 由题设有[*]=0,因[*]=0,由命题1.2.6.1及f(x)在x=0处连续,得到 [*][f(1+sinx)一3f(1一sinx)-8x]=f(1)一3f(1)=0,即f(1)=0. 因f(x)的周期为5,所以在点(6,f(6))处和点(1,f(1))处曲线的切线具有相同斜率,且 f(1)=f(1+5)=f(6),f'(1)=f'(1+5)=f'(6).因而只需求出f'(1).根据定义求之,由题设有[*]{[f(1+sinx)一3f(1一sinx)]/(8x)}=1,则 [*] 即f'(1)=f'(6)=2.又f(1)=f(6)=0,故在点(6,f(6))处的切线方程为 y=2(x一6), 即 2x—y一12=0.
解析
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考研数学二
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