2. 考研
  3. [2000年] 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方

[2000年] 已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方

admin2019-06-09  75
问题 [2000年]  已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的邻域内满足关系式f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小量，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．
选项
答案求切线方程的难点在于求f＇(1)．因题中只给出了函数f(x)在一点x=1处可导，这就决定了只能用导数定义求出f＇(1)． 由题设有[*]=0，因[*]=0，由命题1．2．6．1及f(x)在x=0处连续，得到 [*][f(1+sinx)一3f(1一sinx)－8x]=f(1)一3f(1)=0，即f(1)=0． 因f(x)的周期为5，所以在点(6，f(6))处和点(1，f(1))处曲线的切线具有相同斜率，且 f(1)=f(1+5)=f(6)，f＇(1)=f＇(1+5)=f＇(6)．因而只需求出f＇(1)．根据定义求之，由题设有[*]{[f(1+sinx)一3f(1一sinx)]／(8x)}=1，则 [*] 即f＇(1)=f＇(6)=2．又f(1)=f(6)=0，故在点(6，f(6))处的切线方程为 y=2(x一6)， 即 2x—y一12=0．
解析
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考研数学二

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