2. 考研
  3. 设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，a2]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2) ＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得 ．

设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，a2]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2) ＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得 ．

admin2018-01-23  51
问题 设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，a2]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2)
＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得
．
选项
答案当c＝a1(i＝1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a1，an)，结论成立； 设c为异于a1，a2，…，an的数，不妨设a1＜c＜a2…＜an． [*] 构造辅助函数φ(x)＝f(x)－k(x－a1)(x－a2)…(x－an)，显然φ(x)在[a1，a2]上n阶 可导，且φ(a1)＝φ(c)＝φ(a2)＝…＝φ(an)＝0， 由罗尔定理，存在ξ1(1)∈(a1，c)，ξ2(1)∈(c，a2)，…，ξn(1)∈ (an－1，an)，使得φ’(ξ1(1))＝φ’(ξ2(1)) ＝…＝φ’(ξn(1))＝0，φ’(x)在(a1，a2)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则 φ(n－1)(x)在(a1，an)内至少有两个不同零点，设为c1，c2∈(a1,an)，使得 φ(n－1)(c1)＝φ(n－1)(c2)＝0， 再由罗尔定理，存在ξ∈(c1，c2)[*](a1，a2)，使得φn(ξ)＝0． φ(n)(x)＝f(n)(x)－n!k，所以f(n)(ξ)＝n!k，从而有 [*]
解析
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考研数学三

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