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设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，a2]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2) ＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得 ．
设a1＜a2＜…＜an，且函数f(x)在[a1，a2]上n阶可导，c∈[a1，an]且f(a1)＝f(a2) ＝…＝f(an)＝0．证明：存在ξ∈(a1，an)，使得 ．
admin
2018-01-23
48
问题
设a
1
＜a
2
＜…＜a
n
，且函数f(x)在[a
1
，a
2
]上n阶可导，c∈[a
1
，a
n
]且f(a
1
)＝f(a
2
)
＝…＝f(a
n
)＝0．证明：存在ξ∈(a
1
，a
n
)，使得
．
选项
答案
当c＝a
1
(i＝1，2，…，n)时，对任意的ξ∈(a
1
，a
n
)，结论成立； 设c为异于a
1
，a
2
，…，a
n
的数，不妨设a
1
＜c＜a
2
…＜a
n
． [*] 构造辅助函数φ(x)＝f(x)－k(x－a
1
)(x－a
2
)…(x－a
n
)，显然φ(x)在[a
1
，a
2
]上n阶 可导，且φ(a
1
)＝φ(c)＝φ(a
2
)＝…＝φ(a
n
)＝0， 由罗尔定理，存在ξ
1
(1)
∈(a
1
，c)，ξ
2
(1)
∈(c，a
2
)，…，ξ
n
(1)
∈ (a
n－1
，a
n
)，使得φ’(ξ
1
(1)
)＝φ’(ξ
2
(1)
) ＝…＝φ’(ξ
n
(1)
)＝0，φ’(x)在(a
1
，a
2
)内至少有n个不同零点，重复使用罗尔定理，则 φ
(n－1)
(x)在(a
1
，a
n
)内至少有两个不同零点，设为c
1
，c
2
∈(a
1
,a
n
)，使得 φ
(n－1)
(c
1
)＝φ
(n－1)
(c
2
)＝0， 再由罗尔定理，存在ξ∈(c
1
，c
2
)[*](a
1
，a
2
)，使得φ
n
(ξ)＝0． φ
(n)
(x)＝f
(n)
(x)－n!k，所以f
(n)
(ξ)＝n!k，从而有 [*]
解析
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考研数学三
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