2. 考研
  3. 设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)上二阶可导，且f(a)＝0，f(b)＞0，f′＋(a)＜0。证明： (Ⅰ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝0； (Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点η，使得f〞(η)＞0。

设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)上二阶可导，且f(a)＝0，f(b)＞0，f′＋(a)＜0。证明： (Ⅰ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝0； (Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点η，使得f〞(η)＞0。

admin2017-11-30  48
问题 设函数f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)上二阶可导，且f(a)＝0，f(b)＞0，f′＋(a)＜0。证明：
    (Ⅰ)在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)＝0；
    (Ⅱ)在(a，b)内至少存在一点η，使得f〞(η)＞0。
选项
答案(Ⅰ)f′＋(a)＝[*]＜0 由极限的保号性知，存在δ＞0，当χ∈(a，a＋δ)时，[*]＜0，从而f(χ)＜0。 取C∈(a，a＋δ)，则f(c)＜0，于是f(χ)在[c，b]上连续。又f(c)＜0，f(b)＞0，由零点定理知，存在ξ∈(c，b)[*](a，b)，使得f(ξ)＝0。 (Ⅱ)对f(χ)在[a，c]，[c，b]上用拉格朗日中值定理，存在r∈(a，c)，s∈(c，b)使得 [*] 再对f′(χ)在[r，s]上用拉格朗日中值定理，存在η∈(r，s)[*](a，b)，使得 f〞(η)＝[*]＞0。
解析
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考研数学一

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