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考研
下列二次型中,正定的二次型是( )。
下列二次型中,正定的二次型是( )。
admin
2015-11-16
81
问题
下列二次型中,正定的二次型是( )。
选项
A、f
1
(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+5x
2
2
-x
3
2
+4x
1
x
2
+6x
1
x
3
+8x
2
x
3
B、f
2
(x
1
,x
2
,x
3
)=2x
1
2
+x
3
2
-2x
1
x
2
+2x
1
x
3
+2x
2
x
3
C、f
3
(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+3x
2
2
+2x
3
2
-2x
1
x
2
+4x
2
x
3
D、f
4
(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+3x
2
2
+7x
3
2
+2x
1
x
2
+4x
1
x
3
答案
D
解析
解一 用排除法,可知仅(D)入选。
(A)f
1
中有一x
3
2
项,故取(x
1
,x
2
,x
3
)=(0,0,1)≠0时,有f
1
(0,0,1)=-1<0,因此f
1
不正定。
(B)f
2
中缺x
2
2
项,故取(x
1
,x
2
,x
3
)=(0,1,0)≠0时,有f
2
(0,1,0)=0,因此f
2
不正定。
(C)f
3
(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+3x
2
2
+2x
3
2
-2x
1
x
2
+4x
2
x
3
=(x
1
-x
2
)
2
+2x
2
2
+2x
3
2
+4x
2
x
3
=(x
1
-x
2
)
2
+2(x
1
+x
2
)
2
,
取(x
1
,x
2
,x
3
)=(1,1,-1)≠0,有f
3
(1,1,-1)=0,因此f
3
不正定。
解二f
4
(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+3x
2
2
+7x
3
2
+2x
1
x
2
+4x
1
x
3
=(x
1
+x
2
+2x
3
)
2
+2x
2
2
-4x
2
x
3
+3x
3
2
=(x
1
+x
2
+2x
3
)
2
+2(x
2
-x
3
)
2
+x
3
2
,
因正惯性指数p=3=n(未知量个数),故f
4
正定f
4
的对应矩阵为
其各阶顺序主子式均大于零:
故f
4
正定,仅(D)入选。
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