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  3. 下列二次型中，正定的二次型是( )。

下列二次型中，正定的二次型是( )。

admin2015-11-16  37
问题 下列二次型中，正定的二次型是(     )。
选项 A、f1(x1，x2，x3)＝x12＋5x22－x32＋4x1x2＋6x1x3＋8x2x3
B、f2(x1，x2，x3)＝2x12＋x32－2x1x2＋2x1x3＋2x2x3
C、f3(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋2x32－2x1x2＋4x2x3
D、f4(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋7x32＋2x1x2＋4x1x3
答案D
解析 解一  用排除法，可知仅(D)入选。
    (A)f1中有一x32项，故取(x1，x2，x3)＝(0，0，1)≠0时，有f1(0，0，1)＝－1<0，因此f1不正定。
    (B)f2中缺x22项，故取(x1，x2，x3)＝(0，1，0)≠0时，有f2(0，1，0)＝0，因此f2不正定。
    (C)f3(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋2x32－2x1x2＋4x2x3
    ＝(x1－x2)2＋2x22＋2x32＋4x2x3
    ＝(x1－x2)2＋2(x1＋x2)2，
取(x1，x2，x3)＝(1，1，－1)≠0，有f3(1，1，－1)＝0，因此f3不正定。
    解二f4(x1，x2，x3)＝x12＋3x22＋7x32＋2x1x2＋4x1x3
    ＝(x1＋x2＋2x3)2＋2x22－4x2x3＋3x32
    ＝(x1＋x2＋2x3)2＋2(x2－x3)2＋x32，
因正惯性指数p＝3＝n(未知量个数)，故f4正定f4的对应矩阵为

其各阶顺序主子式均大于零：

故f4正定，仅(D)入选。
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