下列二次型中,正定的二次型是( )。

admin2015-11-16  35

问题 下列二次型中,正定的二次型是(     )。

选项 A、f1(x1,x2,x3)=x12+5x22-x32+4x1x2+6x1x3+8x2x3
B、f2(x1,x2,x3)=2x12+x32-2x1x2+2x1x3+2x2x3
C、f3(x1,x2,x3)=x12+3x22+2x32-2x1x2+4x2x3
D、f4(x1,x2,x3)=x12+3x22+7x32+2x1x2+4x1x3

答案D

解析 解一  用排除法,可知仅(D)入选。
    (A)f1中有一x32项,故取(x1,x2,x3)=(0,0,1)≠0时,有f1(0,0,1)=-1<0,因此f1不正定。
    (B)f2中缺x22项,故取(x1,x2,x3)=(0,1,0)≠0时,有f2(0,1,0)=0,因此f2不正定。
    (C)f3(x1,x2,x3)=x12+3x22+2x32-2x1x2+4x2x3
    =(x1-x2)2+2x22+2x32+4x2x3
    =(x1-x2)2+2(x1+x2)2
取(x1,x2,x3)=(1,1,-1)≠0,有f3(1,1,-1)=0,因此f3不正定。
    解二f4(x1,x2,x3)=x12+3x22+7x32+2x1x2+4x1x3
    =(x1+x2+2x3)2+2x22-4x2x3+3x32
    =(x1+x2+2x3)2+2(x2-x3)2+x32
因正惯性指数p=3=n(未知量个数),故f4正定f4的对应矩阵为

其各阶顺序主子式均大于零:

故f4正定,仅(D)入选。
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