设二次型f(x1，x2，x3)=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值的和为1，特征值的乘积为一12。 (Ⅰ)求a，b的值； (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

admin2020-12-06 37

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+2x₂²一2x₃²+2bx₁x₃(b＞0)，其中二次型的矩阵A的特征值的和为1，特征值的乘积为一12。
(Ⅰ)求a，b的值；
(Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形，并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。

选项

答案(Ⅰ)二次型f对应的矩阵为 [*] 设A的特征值λ₁，λ₂，λ₃满足题中所给条件，则 λ₁+λ₂+λ₃=a+2—2=1，λ₁λ₂λ₃=|A|=一4a一2b²=一12。解得a=1，b=±2，已知b＞0，因此a=l，b=2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 [*]

解析

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考研数学一

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