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设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值的和为1,特征值的乘积为一12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。
设二次型f(x1,x2,x3)=ax12+2x22一2x32+2bx1x3(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值的和为1,特征值的乘积为一12。 (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。
admin
2020-12-06
28
问题
设二次型f(x
1
,x
2
,x
3
)=ax
1
2
+2x
2
2
一2x
3
2
+2bx
1
x
3
(b>0),其中二次型的矩阵A的特征值的和为1,特征值的乘积为一12。
(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)利用正交变换将二次型化为标准形,并写出所作的正交变换和对应的正交矩阵。
选项
答案
(Ⅰ)二次型f对应的矩阵为 [*] 设A的特征值λ
1
,λ
2
,λ
3
满足题中所给条件,则 λ
1
+λ
2
+λ
3
=a+2—2=1,λ
1
λ
2
λ
3
=|A|=一4a一2b
2
=一12。 解得a=1,b=±2,已知b>0,因此a=l,b=2。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式 [*]
解析
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考研数学一
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