2. 考研
  3. 设有n元二次型f(x1,x2 ,……xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1,x2 ,……xn)为正定二次型．

设有n元二次型f(x1,x2 ,……xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1,x2 ,……xn)为正定二次型．

admin2016-01-11  59
问题 设有n元二次型f(x1,x2 ,……xn)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+…+(xn+anx1)2，其中ai(i=1，2，…，n)为实数．试问当a1，a2，…，an满足何种条件时，二次型f(x1,x2 ,……xn)为正定二次型．
选项
答案由题设知，对任意的实数x1,x2 ,……xn，有f(x1,x2 ,……xn)≥0，其中等号成立当且仅当 [*] 所以当1+(一1)n+1a1，a2…an≠0时，对任意n个不全为零的实数x1,x2 ,……xn，都有f(x1,x2 ,……xn)＞0，即当a1a2…an≠(一1)n时，二次型f(x1,x2 ,……xn)为正定二次型．
解析 本题考查正定二次型的判定方法．将二次型f(x1,x2 ,……xn)的正定性问题转化为齐次线性方程组仅有零解的问题进行解决．
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考研数学二

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