已知f(0)=0,f’(0)=2,g(0)=2,求函数f(x)与g(x),使曲线积分∮L{y2[2xf’(x)+g(x)]-2yg(x)tan2x}dx+[yf’(x)+4xyf(x)+g(x)]dy与路径无关.

admin2022-07-21  37

问题 已知f(0)=0,f’(0)=2,g(0)=2,求函数f(x)与g(x),使曲线积分∮L{y2[2xf’(x)+g(x)]-2yg(x)tan2x}dx+[yf’(x)+4xyf(x)+g(x)]dy与路径无关.

选项

答案积分与路径无关,故[*],即 y[f’’(x)+4f(x)-2g(x)]+g’(x)+2g(x)tanx=0 故必有[*],解第二个方程得g(x)=Ccos2x. 又f(0)=0,f’(0)=2,g(0)=2,故g(x)=2cos2x.代入到第一个方程,得 f(x)=(x+1)sin2x

解析
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