设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞),f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立,且fˊ(0)存在等于a,a≠0,则f(x)=_________.

admin2016-09-13  28

问题 设f(x)在(-∞,+∞)内有定义,且对任意x∈(-∞,+∞),y∈(-∞,+∞),f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex成立,且fˊ(0)存在等于a,a≠0,则f(x)=_________.

选项

答案axex

解析 由fˊ(0)存在,设法去证对一切x,fˊ(x)存在,并求出f(x).
将y=0代入f(x+y)=f(x)ey+f(y)ex,得
f(x)=f(x)+f(0)ex
所以f(0)=0.

令△x→0,得
fˊ(x)=f(x)+exfˊ(0)=f(x)+aex
所以fˊ(x)存在.解此一阶微分方程,得
f(x)=ex(∫aex.e-xdx+C)=ex(ax+C).
因f(0)=0,所以C=0,从而得f(x)==axex,如上所填.
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