设矩阵，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同，但不相似的是( )．

admin2022-10-09 30

问题设矩阵

，则下列矩阵中与矩阵A等价、合同，但不相似的是( )．

选项 A、

B、

C、

D、

答案D

解析由

可知矩阵A的特征值是3，一3，0，故秩(A)=2．二次型X^TAX的正、负惯性指数均为1．A中矩阵的秩为1，不可能与矩阵A等价；C中矩阵的特征值为3，一3，0，与矩阵A不仅等价、合同，而且也相似，不符合题意．而B中矩阵的特征值为1，4，0，正惯性指数为p=2，负惯性指数q=0，与A既不合同也不相似，但等价(因为秩相等)．对于D，记其矩阵为D，由

可知D的特征值为1，一1，0．X^TAX与X^TDX的正、负惯性指数一样，所以它们合同，但不相似(因特征值不同)，符合题意．仅D入选．

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