过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

admin2018-04-14 62

问题过点(0，1)作曲线L：y=lnx的切线，切点为A，又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成。求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。

选项

答案设切点坐标为A(x₀，lnx₀)，斜率为1／x₀，所以设切线方程为 y－lnx₀=1／x₀(x－x₀)，又因为该切线过(0，1)，所以x₀=e²，故切线方程为y=1／x²x+1。 L与x轴交点为B(1，0)，直线AB的方程为y=[*](x－1)。区域D的面积为 [*] =e²+1－(e²－1)=2。旋转一周所围成的体积为 V=V₁－V₂ [*] =(2e²－2)π－[*]π=2／3(e²－1)π。

解析

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考研数学二

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设f(x)∈[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f’’(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1，证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abφ(x)dx]．
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