求下列二重积分设a＞0为常数，求积分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．

admin2018-06-15 43

问题求下列二重积分
设a＞0为常数，求积分I=

xy²dσ，其中D：x²+y²≤ax．

选项

答案D是圆域(如图9．10)：(x－[*])²+y²≤(a／2)²． [*] 作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，并由D关于x轴对称，x轴上方部分为D₁：0≤θ≤π／2，0≤r≤acosθ．于是I=2[*]xy²dxdy=2∫₀^π／2dθ∫₀^acosθrcosθr²sin²θrdr =2∫₀^π／2sin²θcosθdθ∫₀^acosθr⁴dr =2／5∫₀^π／2sin²θcosθa⁵cos⁵θdθ =2／5a⁵∫₀^π／2(1－cos²θ)cos⁶θdθ [*]

解析

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