2. 考研
  3. 设函数p(x)在区间[a，b]上连续，y(x)在区间[a，b]上具有二阶导数且满足y”(x)＋p(x)y’(x)－y(x)＝0，y(a)＝y(b)＝0，则在[a，b]上，y(x)( )

设函数p(x)在区间[a，b]上连续，y(x)在区间[a，b]上具有二阶导数且满足y”(x)＋p(x)y’(x)－y(x)＝0，y(a)＝y(b)＝0，则在[a，b]上，y(x)( )

admin2021-04-07  59
问题 设函数p(x)在区间[a，b]上连续，y(x)在区间[a，b]上具有二阶导数且满足y”(x)＋p(x)y’(x)－y(x)＝0，y(a)＝y(b)＝0，则在[a，b]上，y(x)(    )
选项 A、有正的最大值，无负的最小值
B、有负的最小值，无正的最大值
C、既有正的最大值，又有负的最小值
D、既无正的最大值，又无负的最小值
答案D
解析 由于y(x)在[a，b]上连续，所以y(x)在[a，b]上有最大值与最小值，又y(a)＝y(b)＝0，故在开区间(a，b)内至少存在一个最值点，也是极值点，设为x0，有y’(x0)＝0，代入所给方程，有
y"(x0)－y(x0)＝0，即y"(x0)＝y(x0)。
如果y(x0)＞0，则y"(x0)＞0，由极值判别法知y(x0)是y(x)的一个极小值，同理，如果y(x0)＜0，则y"(x0)＜0，y(x0)是y(x)的一个极大值。
综上，在区间[a，b]上既不可能有使y(x)＞0的最大值点，也不可能有使y(x)性0的最小值点，所以在区间[a，b]上只能是y(x)＝0，选D。
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考研数学二

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