设函数p(x)在区间[a,b]上连续,y(x)在区间[a,b]上具有二阶导数且满足y”(x)+p(x)y’(x)-y(x)=0,y(a)=y(b)=0,则在[a,b]上,y(x)( )

admin2021-04-07  32

问题 设函数p(x)在区间[a,b]上连续,y(x)在区间[a,b]上具有二阶导数且满足y”(x)+p(x)y’(x)-y(x)=0,y(a)=y(b)=0,则在[a,b]上,y(x)(    )

选项 A、有正的最大值,无负的最小值
B、有负的最小值,无正的最大值
C、既有正的最大值,又有负的最小值
D、既无正的最大值,又无负的最小值

答案D

解析 由于y(x)在[a,b]上连续,所以y(x)在[a,b]上有最大值与最小值,又y(a)=y(b)=0,故在开区间(a,b)内至少存在一个最值点,也是极值点,设为x0,有y’(x0)=0,代入所给方程,有
y"(x0)-y(x0)=0,即y"(x0)=y(x0)。
如果y(x0)>0,则y"(x0)>0,由极值判别法知y(x0)是y(x)的一个极小值,同理,如果y(x0)<0,则y"(x0)<0,y(x0)是y(x)的一个极大值。
综上,在区间[a,b]上既不可能有使y(x)>0的最大值点,也不可能有使y(x)性0的最小值点,所以在区间[a,b]上只能是y(x)=0,选D。
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