2. 考研
  3. 设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=∫0xtarcsin(t-1)2dt．求∫01f(x)dx．

设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=∫0xtarcsin(t-1)2dt．求∫01f(x)dx．

admin2022-04-27  59
问题 设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=∫0xtarcsin(t-1)2dt．求∫01f(x)dx．
选项
答案已知等式两边同时对x求导，得 g[f(x)]f’(x)=xarcsin(x-1)2． 又因为g[f(x)]=x，所以当x≠0时，有 f’(x)=arcsin(x-1)2， f(1)=f(0)+∫01f’(x)dx=∫01arcsin(x-1)2dx． 故 I=∫01f(x)dx=xf(x)｜01-∫01xf’(x)dx=f(1)-∫01xarcsin(x-1)2dx =∫01arcsin(x-1)2dx-∫01xarcsin(x-1)2dx =∫01(1-x)arcsin(x-1)2dx[*]-∫-10tarcsin t2dt [*]
解析
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考研数学三

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