设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫0f(x)g(t)dt=∫0xtarcsin(t-1)2dt．求∫01f(x)dx．

admin2022-04-27 52

问题设f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=0，且f(x)的反函数为g(x)，若∫₀^f(x)g(t)dt=∫₀^xtarcsin(t-1)²dt．求∫₀¹f(x)dx．

选项

答案已知等式两边同时对x求导，得 g[f(x)]f’(x)=xarcsin(x-1)²．又因为g[f(x)]=x，所以当x≠0时，有 f’(x)=arcsin(x-1)²， f(1)=f(0)+∫₀¹f’(x)dx=∫₀¹arcsin(x-1)²dx．故 I=∫₀¹f(x)dx=xf(x)｜₀¹-∫₀¹xf’(x)dx=f(1)-∫₀¹xarcsin(x-1)²dx =∫₀¹arcsin(x-1)²dx-∫₀¹xarcsin(x-1)²dx =∫₀¹(1-x)arcsin(x-1)²dx[*]-∫_-1⁰tarcsin t²dt [*]

解析

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考研数学三

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