2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又B=且AB=O． (1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY下二次型化为标准形． (2)求矩阵A．

设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又B=且AB=O． (1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY下二次型化为标准形． (2)求矩阵A．

admin2019-08-28  68
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又B=且AB=O．
(1)求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY下二次型化为标准形．
(2)求矩阵A．
选项
答案(1)由AB=O得[*]=0，即α1=[*]，α2=[*]为λ=0的两个线性无关的特征向量，从而λ=0为至少二重特征值，又由tr(A)=1得λ3=1， 即λ1=λ2=0，λ3=1． 令λ3=1对应的特征向量为α3=[*] 因为AT=A，所以 [*] 解得λ3=1对应的线性无关的特征向量为α3=[*] 令γ1=[*]，γ2=[*]，γ3=[*]，所求的正交矩阵为[*] 且XtAX[*]y32． (2)由 [*]
解析
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考研数学三

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