20n维列向量组α1，…，αn－1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α1，…，αn－1，β线性无关．

admin2017-12-31 66

问题 20n维列向量组α₁，…，α_n－1线性无关，且与非零向量β正交．证明：α₁，…，α_n－1，β线性无关．

选项

答案令k₀β＋k₁α₁＋…＋k_n－1α_n－1＝0，由α₁，…，α_n－1与非零向量β正交及(β，k₀β，k₁α₁＋…＋k_n－1α_n－1)＝0得k₀(β，β)＝0，因为β为非零向量，所以(β，β)＝‖β‖＞0，于是k₀＝0，故k₁α₁＋…＋k_n－1α_n－1＝0，由α₁，…，α_n－1线性无关得k₁＝…k_n－1＝0，于是α₁，…，α_n－1，β线性无关．

解析

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