已知向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则向量组( )

admin2020-03-01  25

问题 已知向量组α1234线性无关,则向量组(    )

选项 A、α12,α23,α34,α41线性无关.
B、α1一α2,α2一α3,α3一α4,α4一α1线性无关.
C、α12,α23,α34,α4一α1线性无关.
D、α12,α23,α3一α4,α4一α1线性无关.

答案C

解析 本题考查向量组线性相关与线性无关的概念.可以用观察的方法排除错误选项,也可以用分析法证明正确选项.由于(α12)一(α23)+(α34)一(α41)=0,所以选项A不正确.
由于(α1一α2)+(α2一α3)+(α3一α4)+(α4一α1)=0,所以选项B不正确.由于(α12)一(α23)+(α3一α4)+(α4一α1)=0,所以选项D不正确.
由排除法知选项C正确,事实上,若设有数k1,k2,k3,k4,使k112)+k223)+k334)+k44一α1)=0,即(k1一k41+(k1+k22+(k2+k33+(k3+k44=0.由于向量组α1234线性无关,从而

于是k1=k2=k3=k4=0,所以向量组α12,α23,α34,α4一α1线性无关.故应选C.
本题也可以这样分析.
首先有如下命题:设向量组α1234线性无关,向量组β1,β2,β3,β4可由向量组α1234线性表示,且(β1,β2,β3,β4)=(α1234)C,则向量组β1,β2,β3,β4线性无关的充分必要条件是|C|≠0.证明:若向量组β1,β2,β3,β4线性无关,则4=r(β1,β2,β3,β4)=r[(α1234)C]≤r(C),于是r(C)=4.矩阵C可逆,|C|≠0.反之,若|C|≠0,矩阵C可逆,则有(β1,β2,β3,β4)C一=(α1234),于是    4=r(α1234)=r[(β1,β2,β3,β4)C一]≤r(β1,β2,β3,β4),故r(β1,β2,β3,β4)=4,向量组β1,β2,β3,β4线性无关。利用上述命题可以很快进行判断,由于

所以选项C的向量组线性无关,选项D的向量组线性相关.
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