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设A是一个n阶方阵,满足A2=A,R(A)=r,且A有两个不同的特征值. 试证A可对角化,并求对角阵A;
设A是一个n阶方阵,满足A2=A,R(A)=r,且A有两个不同的特征值. 试证A可对角化,并求对角阵A;
admin
2019-08-26
44
问题
设A是一个n阶方阵,满足A
2
=A,R(A)=r,且A有两个不同的特征值.
试证A可对角化,并求对角阵A;
选项
答案
设λ是A的特征值,由于A
2
=A,所以λ
2
=λ,且A有两个不同的特征值,从而A的特征值为0和1. 又因为A
2
=A,即A(A—E)=O,故R(A)十R(A—E)=n.事实上,因为A(A—E) =O,所以 R(A)+R(A—E)≤n 另外,由于E—A同A—E的秩相同,则有 n=R(E)=R[(E—A)+A]≤R(A)+R(E—A)=R(A)+ R (A—E). 从而 R(A)+R(A—E)=n 当λ=1时.闪为R(A—E)=n—R(A)=n—r,从而齐次线性方程组(E—A)x=0的基础解系含有r个解向量,闪此,A属于特征值1有r个线性无关特征向量,记为η
1
,η
2
,…,η
r
. 当λ=0时,因为R(A)=r,从而齐次线性方程组(0·E—A)x=0的基础解系含n—r个解向量. 因此,A属于特征值0有n—r个线性无关的特征向量,记为η
r+1
,η
r+2
,…,η
n
. 于是η
1
,η
2
,…,η
n
是A的n个线性无关的特征向量,所以A可对角化,并且对角阵为 [*]
解析
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考研数学三
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