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  3. 设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt．证明： 若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt．证明： 若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

admin2022-10-27  7
问题 设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt．证明：
若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．
选项
答案F(x)=∫0x(x-2t)f(t)dt=x∫0xf(t)dt-2∫0xtf(t)dt， F’(x)=∫0xf(t)dt-xf(x)=x[f(ξ)-f(x)]，其中ξ介于0与x之间， 当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0， 当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0， 从而F(x)单调不减．
解析
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考研数学一

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