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设f(x)在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,f’(a)<0,f’(b)<0,则方程f’(x)在(a,b)内( )。
设f(x)在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,f’(a)<0,f’(b)<0,则方程f’(x)在(a,b)内( )。
admin
2015-11-16
38
问题
设f(x)在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,f’(a)<0,f’(b)<0,则方程f’(x)在(a,b)内( )。
选项
A、没有实根
B、有且仅有一个实根
C、有且仅有两个不相等的实根
D、至少有两个不相等实根
答案
D
解析
解 因
故在a的某邻域内存在点x
1
,a<x
1
<
,使f(x
1
)<0。
同理由f’(b)<0知,必存在点x
2
,
<x
2
<b,使f(x
2
)>0。由连续函数性质(介值定理)知,存在c∈(x
1
,x
2
)
(a,b),使f(c)=0。
在闭区间[a,c]和[c,b]上对f(x)分别使用罗尔定理知,至少存在一点ξ
1
∈(a,c),使得f’(ξ
1
)=0,至少存在一点ξ
2
∈(c,b),使得f’(ξ
2
)=0,故方程f’(x)=0在(a,b)内至少有两个不相等的实根,仅(D)入选。
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考研数学一
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