2. 考研
  3. 设f(x)在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，f’(a)＜0，f’(b)＜0，则方程f’(x)在(a，b)内( )。

设f(x)在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，f’(a)＜0，f’(b)＜0，则方程f’(x)在(a，b)内( )。

admin2015-11-16  20
问题 设f(x)在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，f’(a)＜0，f’(b)＜0，则方程f’(x)在(a，b)内(     )。
选项 A、没有实根
B、有且仅有一个实根
C、有且仅有两个不相等的实根
D、至少有两个不相等实根
答案D
解析 解  因
故在a的某邻域内存在点x1，a＜x1＜，使f(x1)＜0。
    同理由f’(b)＜0知，必存在点x2，＜x2＜b，使f(x2)＞0。由连续函数性质(介值定理)知，存在c∈(x1，x2)(a，b)，使f(c)＝0。
    在闭区间[a，c]和[c，b]上对f(x)分别使用罗尔定理知，至少存在一点ξ1∈(a，c)，使得f’(ξ1)＝0，至少存在一点ξ2∈(c，b)，使得f’(ξ2)＝0，故方程f’(x)＝0在(a，b)内至少有两个不相等的实根，仅(D)入选。
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考研数学一

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