设f(x)在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,f’(a)<0,f’(b)<0,则方程f’(x)在(a,b)内( )。

admin2015-11-16  22

问题 设f(x)在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,f’(a)<0,f’(b)<0,则方程f’(x)在(a,b)内(     )。

选项 A、没有实根
B、有且仅有一个实根
C、有且仅有两个不相等的实根
D、至少有两个不相等实根

答案D

解析 解  因
故在a的某邻域内存在点x1,a<x1,使f(x1)<0。
    同理由f’(b)<0知,必存在点x2<x2<b,使f(x2)>0。由连续函数性质(介值定理)知,存在c∈(x1,x2)(a,b),使f(c)=0。
    在闭区间[a,c]和[c,b]上对f(x)分别使用罗尔定理知,至少存在一点ξ1∈(a,c),使得f’(ξ1)=0,至少存在一点ξ2∈(c,b),使得f’(ξ2)=0,故方程f’(x)=0在(a,b)内至少有两个不相等的实根,仅(D)入选。
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