设n阶矩阵A的伴随矩阵为A，证明：(1)若｜A｜＝0，则｜A｜＝0；(2)｜A*｜＝｜A｜n﹣1．

admin2020-06-05 42

问题设n阶矩阵A的伴随矩阵为A^*，证明：(1)若｜A｜＝0，则｜A^*｜＝0；(2)｜A^*｜＝｜A｜^n﹣1．

选项

答案(1)由于AA^*＝A^*A＝｜A｜E＝0，若｜A^*｜≠0，则A^*可逆，进而A＝AA^*(A^*)^﹣1＝0．故｜A｜的所有n－1阶余子式均为零，即A^*＝0，这与A^*可逆矛盾．因此｜A^*｜＝0． (2)若｜A｜＝0，显然｜A^*｜＝0＝｜A｜^n－1；若｜A｜≠0，则｜AA^*｜＝｜｜A｜E｜＝｜A｜ⁿ，即｜A^*｜＝｜A｜^n－1．

解析

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考研数学一

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