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设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n﹣1.
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明:(1)若|A|=0,则|A*|=0;(2)|A*|=|A|n﹣1.
admin
2020-06-05
54
问题
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A
*
,证明:(1)若|A|=0,则|A
*
|=0;(2)|A
*
|=|A|
n﹣1
.
选项
答案
(1)由于AA
*
=A
*
A=|A|E=0,若|A
*
|≠0,则A
*
可逆,进而A=AA
*
(A
*
)
﹣1
=0.故|A|的所有n-1阶余子式均为零,即A
*
=0,这与A
*
可逆矛盾.因此|A
*
|=0. (2)若|A|=0,显然|A
*
|=0=|A|
n-1
;若|A|≠0,则|AA
*
|=||A|E|=|A|
n
,即|A
*
|=|A|
n-1
.
解析
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考研数学一
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