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问满足方程一y″一2y′=0的哪一条积分曲线通过点(0，一3)，在该点处有倾角为arctan6的切线且曲率为0?
问满足方程一y″一2y′=0的哪一条积分曲线通过点(0，一3)，在该点处有倾角为arctan6的切线且曲率为0?
admin
2016-11-03
92
问题
问满足方程
一y″一2y′=0的哪一条积分曲线通过点(0，一3)，在该点处有倾角为arctan6的切线且曲率为0?
选项
答案
此方程是一常系数齐次线性微分方程，其特征方程为 r
3
一r
2
一2r=0， 解得 r
1
=0， r
2
=2， r
3
=－1． 即微分方程的通解为 Y=C
1
+C
2
e
2x
+C
3
e
－x
． 因积分曲线通过点(0，一3)，代入上式有 C
1
+C
2
+C
3
=－3． ① 由题设知该点的倾角为arctan6，即 y′｜
x=0
=[2C
2
e
2x
一C
3
e
－x
]
x=0
=tan(arctan6)， 亦即 2C
2
一C
3
=6． ② 又在这点曲率为0，因而 y″｜
x=0
=[4C
2
e
2x
+C
3
e
－x
]
x=0
=0 即4C
2
+C
3
=0 ③ 联立式①、式②、式③解得C
1
=0，C
2
=1，C
3
=－4，则所求的积分曲线为 y=e
2x
一4e
－x
．
解析
高于二阶的常系数齐次线性方程的求解方法与二阶的常系数齐次线性方程的求解方法类似：利用特征方程的每个根与方程的特解的对应关系写出其通解．
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XXu4777K
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考研数学一
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