已知A是n阶矩阵,α1,α2,…,αs是n维线性无关向量组,若Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.证明:A不可逆.

admin2016-07-22  30

问题 已知A是n阶矩阵,α1,α2,…,αs是n维线性无关向量组,若Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关.证明:A不可逆.

选项

答案因Aα1,Aα2,…,Aαs线性相关,故存在不全为零的数k1,k2,…,ks,使得 k11+k22+…+kss=0, 即 A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=Aξ=0. 其中ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs成立,因已知α1,α2,…,αs线性无关,对任意不全为零的k1,k2,…,ks, 有 ξ=k1α1+k2α2+…+ksαs≠0, 而 Aξ=0. 说明线性方程组AX=0有非零解,从而|A|=0,A是不可逆矩阵.

解析
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