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已知抛物线y=px2+qx(其中p<0,q>0)在第一象限内与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S. (Ⅰ)问p和q何值时,S达到最大值? (Ⅱ)求出此最大值.
已知抛物线y=px2+qx(其中p<0,q>0)在第一象限内与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S. (Ⅰ)问p和q何值时,S达到最大值? (Ⅱ)求出此最大值.
admin
2022-04-10
106
问题
已知抛物线y=px
2
+qx(其中p<0,q>0)在第一象限内与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S.
(Ⅰ)问p和q何值时,S达到最大值?
(Ⅱ)求出此最大值.
选项
答案
由题设,抛物线与直线的位置关系如图所示. [*] 抛物线Y=px
x
+qx与x轴的交点为(0,0)及[*] 面积[*] 又知抛物线与直线相切,因此二者的公共点唯一,从而方程组[*]有唯一解, 可推知px
2
+(q+1)x-5=0的根的判别式为0, 即△=(q+1)
2
+20p=0,可解得p=-(1/20)(1+q)
2
. 由此,[*] 令[*] 当0<q<3时,S
’
(q)>0;当q>3时,S
2
(q)<0, 所以q=3时,S(g)取极大值,也即最大值,此时,p=-(4/5),S
max
=225/32.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/XhR4777K
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考研数学三
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