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求幂级数的收敛域及和函数S(x)。
求幂级数的收敛域及和函数S(x)。
admin
2019-08-06
52
问题
求幂级数
的收敛域及和函数S(x)。
选项
答案
记u
n
(x)=[*],则 [*] 所以当|x|
2
<1时,即|x|<1时,所给幂级数收敛;当|x|>1时,所给幂级数发散; 当x=±1时,所给幂级数为[*]均收敛。 故所给幂级数的收敛域为[一1,1]。 在(一1,1)内, [*] 又S
1
’
(0)=0,于是S
1
’
(x)=arctanx。 同理 S
1
(x)一S
1
(0)=∫
0
x
S
1
’
(t)dt=S
0
x
arctantdt [*] 又S
1
(0)=0,所以 S
1
(x)=xarctanx—[*]ln(1+x
2
)。 故 S(x)=2x
2
arctanx—xln(1+x
2
),x∈(一1,1)。 由于所给幂级数在x=±1处都收敛,且S(x)在x=±1处都连续,所以S(x)在x=±1成立,即 S(x)=2x
2
arctanx—xln(1+x
2
),x∈[一1,1]。
解析
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考研数学三
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