求幂级数的收敛域及和函数S（x）。

admin2019-08-06 38

问题求幂级数

的收敛域及和函数S（x）。

选项

答案记u_n（x）=[*]，则 [*] 所以当|x|²＜1时，即|x|＜1时，所给幂级数收敛；当|x|＞1时，所给幂级数发散；当x=±1时，所给幂级数为[*]均收敛。故所给幂级数的收敛域为[一1，1]。在（一1，1）内， [*] 又S₁^’（0）=0，于是S₁^’（x）=arctanx。同理 S₁（x）一S₁（0）=∫₀^xS₁^’（t）dt=S₀^xarctantdt [*] 又S₁（0）=0，所以 S₁（x）=xarctanx—[*]ln（1+x²）。故 S（x）=2x²arctanx—xln（1+x²），x∈（一1，1）。由于所给幂级数在x=±1处都收敛，且S（x）在x=±1处都连续，所以S（x）在x=±1成立，即 S（x）=2x²arctanx—xln（1+x²），x∈[一1，1]。

解析

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