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  3. 求幂级数的收敛域及和函数S（x）。

求幂级数的收敛域及和函数S（x）。

admin2019-08-06  29
问题 求幂级数的收敛域及和函数S（x）。
选项
答案记un（x）=[*]，则 [*] 所以当|x|2＜1时，即|x|＜1时，所给幂级数收敛；当|x|＞1时，所给幂级数发散； 当x=±1时，所给幂级数为[*]均收敛。 故所给幂级数的收敛域为[一1，1]。 在（一1，1）内， [*] 又S1’（0）=0，于是S1’（x）=arctanx。 同理 S1（x）一S1（0）=∫0xS1’（t）dt=S0xarctantdt [*] 又S1（0）=0，所以 S1（x）=xarctanx—[*]ln（1+x2）。 故 S（x）=2x2arctanx—xln（1+x2），x∈（一1，1）。 由于所给幂级数在x=±1处都收敛，且S（x）在x=±1处都连续，所以S（x）在x=±1成立，即 S（x）=2x2arctanx—xln（1+x2），x∈[一1，1]。
解析
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考研数学三

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