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已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. 设a<一1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1一x2|,求a的取值范围.
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. 设a<一1,如果对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1一x2|,求a的取值范围.
admin
2019-08-05
12
问题
已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax
2
+1.
设a<一1,如果对任意x
1
,x
2
∈(0,+∞),|f(x
1
)-f(x
2
)|≥4|x
1
一x
2
|,求a的取值范围.
选项
答案
不妨假设x
1
≥x
2
,而a<一1,f(x)在(0,+∞)单调递减,从而[*]x
1
,x
2
∈(0,+∞),|f(x
1
)一f(x
2
)|≥4|x
1
一x
2
|,等价于[*]x
1
,x
2
∈(0,+∞),f(x
2
)+4x
2
≥f(x
1
)+4x
1
①. 令g(x)=f(x)+4x,则g
’
(x)=[*]+2ax+4. ①等价于g(x)在(0,+∞)单调递减,即[*]+2ax+4≤0. 从而a≤[*]一2.故a的取值范围为(一∞,一2].
解析
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