已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1．设a＜一1，如果对任意x1，x2∈(0，+∞)，｜f(x1)－f(x2)｜≥4｜x1一x2｜，求a的取值范围．

admin2019-08-05 7

问题已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax²+1．
设a＜一1，如果对任意x₁，x₂∈(0，+∞)，｜f(x₁)－f(x₂)｜≥4｜x₁一x₂｜，求a的取值范围．

选项

答案不妨假设x₁≥x₂，而a＜一1，f(x)在(0，+∞)单调递减，从而[*]x₁，x₂∈(0，+∞)，｜f(x₁)一f(x₂)｜≥4｜x₁一x₂｜，等价于[*]x₁，x₂∈(0，+∞)，f(x₂)+4x₂≥f(x₁)+4x₁①．令g(x)=f(x)+4x，则g^’(x)=[*]+2ax+4． ①等价于g(x)在(0，+∞)单调递减，即[*]+2ax+4≤0．从而a≤[*]一2．故a的取值范围为(一∞，一2]．

解析

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