2. 考研
  3. 设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1＋sα3，α2＋tα3都线性无关．

设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1＋sα3，α2＋tα3都线性无关．

admin2021-11-09  59
问题 设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1＋sα3，α2＋tα3都线性无关．
选项
答案α1＋sα3，α2＋tα3，α1，α2，α3的表示矩阵为 C＝[*] 显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α1＋sα3，α2＋tα3的秩为2，线性无关． 在s＝t＝0时，得α1，α2线性无关，只要再证明α3不可用α1，α2线性表示．如果α3可以用α1，α2线性表示，设 α3＝c1α1＋c2α2， 则因为α3＝不是零向量，c1，c2不能全为0．不妨设c1≠0，则有 c1(α1－[*]α3)＋c2α2＝0， 于是α1－[*]α3，α2线性相关，即当s＝－[*]，t＝0时α1＋sα3，α2＋tα3相关，与条件矛盾．
解析
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考研数学二

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