设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1＋sα3，α2＋tα3都线性无关．

admin2021-11-09 29

问题设α₁，α₂，α₃都是n维非零向量，证明：α₁，α₂，α₃线性无关

对任何数s，t，α₁＋sα₃，α₂＋tα₃都线性无关．

选项

答案α₁＋sα₃，α₂＋tα₃，α₁，α₂，α₃的表示矩阵为 C＝[*] 显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α₁＋sα₃，α₂＋tα₃的秩为2，线性无关．在s＝t＝0时，得α₁，α₂线性无关，只要再证明α₃不可用α₁，α₂线性表示．如果α₃可以用α₁，α₂线性表示，设 α₃＝c₁α₁＋c₂α₂，则因为α₃＝不是零向量，c₁，c₂不能全为0．不妨设c₁≠0，则有 c₁(α₁－[*]α₃)＋c₂α₂＝0，于是α₁－[*]α₃，α₂线性相关，即当s＝－[*]，t＝0时α₁＋sα₃，α₂＋tα₃相关，与条件矛盾．

解析

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考研数学二

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设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1＋sα3，α2＋tα3都线性无关．

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