2. 考研
  3. 设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且.证明：存在ε∈（a,b),使得f’(ε)=0.

设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且.证明：存在ε∈（a,b),使得f’(ε)=0.

admin2019-09-23  43
问题 设f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且.证明：存在ε∈（a,b),使得f’(ε)=0.
选项
答案不妨设f’+(a)＞0,f’-(b)＜0,根据极限的保号性，由f’+(a)＞0=[*],则存在δ＞0（δ＜b-a),当0＜x-a＜δ时，[*],即f(x)＞f(a),所以存在x1∈(a,b),使得f(x1)＞f(a).同理由f’-(b)＜0，存在x2∈(a,b)，使得f(x2)＞f(b).因为f(x)在[a,b]上连续，且f(x1)＞f(a),f(x2)＞f(b),所以f(x)的最大值在（a,b)内取到，即存在ε∈（a,b)，使得f(ε)为f(x)在[a,b]上的最大值，故f’(ε)=0.
解析
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考研数学二

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